관계 하나에도 서로 다른 세 질문이 있습니다
‘같은 반이다’와 ‘친한 사이다’는 둘 다 두 사람을 잇는 말처럼 보입니다. 하지만 논리에서는 자기 자신과도 관계하는지, 방향을 바꾸어도 성립하는지, 두 관계가 이어질 때 세 번째 관계가 따라오는지를 따로 묻습니다.
모든 사람이 자기 자신과 같은 반이므로 ‘같은 반’은 반사적입니다. 민서가 도윤과 같은 반이면 도윤도 민서와 같은 반이므로 대칭적입니다. 민서와 도윤, 도윤과 하린이 같은 반이면 민서와 하린도 같은 반이므로 이행적입니다.
참고 · P. D. Magnus 외 · Open Logic Project — 관계의 반사성·대칭성·이행성 ↗
친한 사이는 대칭적일 수 있어도 이행적일 필요는 없습니다
민서와 도윤이 친하고 도윤과 하린이 친하더라도 민서와 하린은 아직 만나지 않았을 수 있습니다. 앞의 두 관계는 참이고 세 번째 관계는 거짓인 한 배치가 있으므로 ‘친한 사이’는 이행적이라고 보장되지 않습니다.
관계 이름의 느낌만으로 성질을 정하지 않습니다. 실제 규칙 또는 자료에서 모든 자기 고리, 뒤집은 방향, 세 단계 조합을 확인해야 합니다. 아래 활동의 출발값이 바로 이행성을 깨는 최소한의 세 사람 반례입니다.
세 성질이 모두 있으면 같은 묶음으로 나눌 수 있습니다
반사적이고 대칭적이며 이행적인 관계를 동치 관계라고 부릅니다. 같은 반, 같은 생일, 같은 나머지처럼 기준이 분명한 관계는 대상을 서로 겹치지 않는 묶음으로 나누는 데 쓸 수 있습니다.
그러나 현실의 소속이 언제나 완벽한 동치 관계인 것은 아닙니다. 한 사람이 여러 프로젝트에 속하거나 기준 시점이 바뀌면 묶음이 겹치거나 달라질 수 있습니다. 모형의 기준·대상·시점을 먼저 고정해야 합니다.