한 쌍의 공식보다 ‘어느 거리가 더해지는가’가 중요하다

그림에서 무엇을 볼까요?

두 원 접선에서 수평거리 2제곱근 ab를 얻고, 세 쌍의 수평거리 합을 세운 뒤, 나누어 1 나누기 제곱근 r3은 1 나누기 제곱근 r1 더하기 1 나누기 제곱근 r2임을 얻는 세 단계 증명도

왼쪽 원의 반지름을 r₁, 오른쪽 원을 r₂, 사이의 원을 r₃이라 합시다. 각 쌍의 수평거리는 2√(r₁r₃), 2√(r₂r₃), 2√(r₁r₂)입니다. 세 번째 원이 양끝 원 사이에 있으므로 앞의 두 거리를 더하면 마지막 거리와 같아야 합니다.

따라서 2√(r₁r₃)+2√(r₂r₃)=2√(r₁r₂)입니다. 양변을 2√(r₁r₂r₃)로 나누면 1/√r₂+1/√r₁=1/√r₃이 됩니다. 순서를 바꾸어 쓰면 1/√r₃=1/√r₁+1/√r₂입니다. 웅거 자료의 현대 풀이가 제시하는 관계와 같습니다.