식이 필요하다는 것과 실제로 그릴 수 있다는 것을 구별한다

그림에서 무엇을 볼까요?

같은 직선 접촉, 원끼리 외접, 가운데 원의 순서라는 세 전제가 중심 높이와 거리 공식을 거쳐 제곱근 역수 관계를 만들고, 순서 변경·겹침·원판 정보 부족이 결론의 범위를 제한하는 논증도

지금까지의 전개는 세 원이 실제로 접해 있다고 가정하면 반드시 식을 만족한다는 ‘필요 조건’의 증명입니다. 반대로 양의 반지름 세 개가 이 식을 만족한다면, 같은 직선 위에 첫 원을 놓고 두 번째와 세 번째의 수평 위치를 2√(r_ir_j)로 정해 세 쌍의 중심 거리가 반지름 합이 되게 만들 수 있습니다. 즉 올바른 좌우 순서에서는 식이 배치를 구성하는 데도 충분합니다.

하지만 순서 전제를 빼면 같은 식을 기계적으로 적용할 수 없습니다. 가장 작은 원이 양끝 원의 바깥에 놓이면 두 짧은 수평거리를 더하는 대신 빼야 할 수 있습니다. 또한 ‘서로 접한다’가 아니라 두 원이 겹치거나 떨어져 있다면 중심 거리부터 r_i+r_j가 아닙니다.