세 원이 모두 닿을 때, 보이지 않는 길이는 어떻게 드러날까?

문제는 책장 안이 아니라 사람들 앞에 놓였다

일본 국립국회도서관은 산가쿠를 수학 문제가 적힌 에마 형식의 나무판으로 설명합니다. 에도 시대의 신사와 사찰에 봉납되었고, 아름답게 채색된 기하 문제가 많았습니다. 현존 가장 오래된 사례는 1683년 도치기현 호시노미야 신사에 봉납된 판으로 알려졌지만, 원판은 1975년 화재로 읽기 어려워져 현재는 복제본이 전시됩니다. ‘가장 오래되었다’는 말조차 현존·기록·복제의 상태를 나누어 읽어야 합니다.[1]

산가쿠는 어느 날 갑자기 생긴 고립된 유행이 아니었습니다. 국립국회도서관은 1627년 초판 『진코키』가 주판 계산과 측량·놀이 문제를 널리 퍼뜨렸고, 후속 판의 유제(답을 남겨 독자에게 도전하는 문제)가 더 어려운 문제를 주고받는 문화를 자극했다고 설명합니다. 교토대학교 희귀자료 아카이브도 에도 후반 어려운 문제를 풀었을 때 에마를 봉납하는 관습이 널리 퍼졌다고 정리합니다.[2][3]

따라서 판의 그림은 답을 보기 좋게 꾸민 삽화만이 아닙니다. 누구나 볼 수 있는 장소에 ‘이 조건에서 이 관계가 성립한다’는 주장을 고정하고, 다른 계산가가 다시 풀거나 새 문제로 이어 가게 하는 매체였습니다. 그러나 관람자가 보았다는 것과 완전한 증명이 판에 적혔다는 것은 같은 말이 아닙니다.

판이 없어져도 문제는 책과 여행 기록에 남을 수 있었다

국립국회도서관은 실제로 몇 장이 만들어졌는지 알려 주는 완전한 기록은 없다고 밝힙니다. 1789년 후지타 사다스케의 『신페키 산포』는 산가쿠를 모은 첫 책으로 소개되며, 1817~1824년 여행한 야마구치 가즈의 『도추 닛키』에는 전국에서 본 324문제가 옮겨 적혔습니다. 현대 목록은 현존 판뿐 아니라 문헌으로만 확인되는 사라진 판도 따로 셉니다.[1]

이 구별은 이번 문제에도 중요합니다. 웅거의 오하이오주립대학교 자료는 ‘한 직선에 접하고 서로 외접하는 크기가 다른 세 원’ 문제를 1824년 군마의 판과 연결합니다. 우리가 직접 확인한 것은 이 2009년 대학 자료의 문제 진술과 출처 주석입니다. 그 자료만으로 판의 현재 소장처, 원래 색, 봉납자, 판에 적힌 풀이 전부를 확정할 수는 없습니다.[4]

쓰쿠바대학교 부속학교의 마키시타 히데요는 산가쿠를 에마에 쓴 봉납물로 설명하면서, 화재·전쟁·풍화로 많은 판이 손상되거나 사라졌다고 정리합니다. 따라서 현대의 재구성은 역사적 실물처럼 꾸미기보다 ‘어떤 조건을 어떤 자료에서 가져왔는가’를 표시해야 합니다.[5]

‘닿는다’는 말 세 종류를 먼저 분리한다

세 원이 같은 직선에 접한다는 것은 각 중심에서 직선까지의 수직거리가 그 원의 반지름과 같다는 뜻입니다. 두 원이 바깥쪽에서 접한다는 것은 두 중심 사이 거리가 두 반지름의 합이라는 뜻입니다. 마지막으로 세 번째 원이 두 원 사이에 놓인다는 순서가 있어야 왼쪽과 오른쪽 수평거리를 더해 양끝 거리를 만들 수 있습니다.

그림 2의 36·9·4는 역사적 판에서 옮긴 수치가 아니라 관계를 손으로 검산하려 고른 자체 예시입니다. 반지름 36인 원과 4인 원의 중심 높이 차는 32이고 중심 거리는 40입니다. 피타고라스 정리를 쓰면 수평거리는 √(40²−32²)=24입니다. 4와 9의 원 사이 수평거리는 √(13²−5²)=12, 36과 9의 원 사이는 √(45²−27²)=36입니다. 실제로 24+12=36이 됩니다.

원을 눈대중으로 비슷하게 그린 것만으로는 부족합니다. 중심 높이, 중심 거리, 수평거리 세 값이 동시에 맞아야 접선 조건이 성립합니다. 이처럼 그림에 숨어 있는 문장을 길이 조건으로 번역하면 확대·축소하거나 숫자를 바꾸어도 같은 논리를 시험할 수 있습니다.

질문 1. 두 원의 반지름이 a와 b라면 중심 사이 수평거리는 왜 2√(ab)일까요? 해설: 빗변은 a+b, 높이 차는 |a−b|이므로 수평거리의 제곱은 (a+b)²−(a−b)²=4ab입니다. 양의 길이를 취하면 2√(ab)입니다.

한 쌍의 공식보다 ‘어느 거리가 더해지는가’가 중요하다

왼쪽 원의 반지름을 r₁, 오른쪽 원을 r₂, 사이의 원을 r₃이라 합시다. 각 쌍의 수평거리는 2√(r₁r₃), 2√(r₂r₃), 2√(r₁r₂)입니다. 세 번째 원이 양끝 원 사이에 있으므로 앞의 두 거리를 더하면 마지막 거리와 같아야 합니다.

따라서 2√(r₁r₃)+2√(r₂r₃)=2√(r₁r₂)입니다. 양변을 2√(r₁r₂r₃)로 나누면 1/√r₂+1/√r₁=1/√r₃이 됩니다. 순서를 바꾸어 쓰면 1/√r₃=1/√r₁+1/√r₂입니다. 웅거 자료의 현대 풀이가 제시하는 관계와 같습니다.[4]

이 식은 작은 원의 반지름을 곧바로 더하는 규칙이 아닙니다. 반지름의 제곱근을 취하고 다시 역수를 취한 값이 더해집니다. 예시 r₁=36, r₂=9에서는 1/√r₃=1/6+1/3=1/2이므로 √r₃=2, r₃=4입니다.

질문 2. r₁=16, r₂=16이면 r₃은 얼마일까요? 해설: 1/√r₃=1/4+1/4=1/2이므로 r₃=4입니다. 두 큰 원의 반지름이 같아도 가운데 원이 같은 크기가 되는 것은 아닙니다.

식이 필요하다는 것과 실제로 그릴 수 있다는 것을 구별한다

지금까지의 전개는 세 원이 실제로 접해 있다고 가정하면 반드시 식을 만족한다는 ‘필요 조건’의 증명입니다. 반대로 양의 반지름 세 개가 이 식을 만족한다면, 같은 직선 위에 첫 원을 놓고 두 번째와 세 번째의 수평 위치를 2√(r_ir_j)로 정해 세 쌍의 중심 거리가 반지름 합이 되게 만들 수 있습니다. 즉 올바른 좌우 순서에서는 식이 배치를 구성하는 데도 충분합니다.

하지만 순서 전제를 빼면 같은 식을 기계적으로 적용할 수 없습니다. 가장 작은 원이 양끝 원의 바깥에 놓이면 두 짧은 수평거리를 더하는 대신 빼야 할 수 있습니다. 또한 ‘서로 접한다’가 아니라 두 원이 겹치거나 떨어져 있다면 중심 거리부터 r_i+r_j가 아닙니다.

그래서 증명은 계산만이 아니라 조건표를 포함해야 합니다. 같은 직선에 접함, 외접함, 가운데 원의 순서, 반지름이 양수라는 네 조건이 어느 단계에서 쓰였는지 표시하면 그림이 달라져도 무엇을 수정해야 하는지 보입니다.

숫자를 바꾸어 접선 조건을 역으로 검사한다

활동 1. 양끝 반지름을 25와 100으로 두세요. 1/√r₃=1/5+1/10=3/10이므로 √r₃=10/3, r₃=100/9입니다. 정수가 나오지 않아도 잘못이 아닙니다. 산가쿠의 간결한 답은 그림 속 관계가 단순한 식으로 정리되는 데서 나오지만, 모든 입력이 정수 반지름을 만들지는 않습니다.

활동 2. 세 반지름을 36, 9, 5로 바꾸어 보세요. 왼쪽-가운데 수평거리와 가운데-오른쪽 수평거리의 합은 2√180+2√45≈40.25인데, 양끝 거리는 36입니다. 눈으로는 비슷한 원 배열을 그릴 수 있어도 세 쌍이 동시에 접할 수 없습니다. 식은 그럴듯한 그림의 반례 검사기가 됩니다.

질문 3. 원의 그림을 지우고 반지름 세 수만 주어도 접촉 가능성을 판정할 수 있을까요? 해설: 양수와 가운데 순서를 정한 뒤 제곱근 역수 관계를 확인하면 됩니다. 참이면 수평거리를 계산해 배치를 구성할 수 있고, 거짓이면 적어도 한 접촉이 끊어지거나 겹칩니다.

현대의 완전한 증명과 과거의 실제 실천을 섞지 않는다

국립국회도서관의 조사 수치는 산가쿠가 널리 제작되었고 책·필사본·여행일기로 옮겨졌음을 보여 줍니다. 그러나 남은 판의 수, 문헌으로만 아는 판의 수, 한 판에 적힌 답과 풀이의 정도는 서로 다른 질문입니다. 아름다운 판을 곧바로 ‘모든 계층이 완전한 증명을 공개 토론한 공간’이라고 일반화하면 자료보다 멀리 나갑니다.[1]

마키시타의 교육 연구와 웅거의 문제 모음은 오늘 우리가 산가쿠를 다시 그려 풀 수 있게 합니다. 하지만 현대 기호 r₁, √, 등식 변형과 소수 근삿값은 독자의 검산을 위한 번역입니다. 1824년 판에 바로 이 기호와 순서가 있었다고 주장하지 않습니다.[4][5]

그럼에도 판의 형식이 남긴 논리적 요구는 선명합니다. 제한된 면적 안에서 조건을 빠뜨리지 않고, 답이 맞는지 다른 사람이 다시 계산할 수 있게 하며, 그림의 아름다움과 수의 필연성을 함께 보여 주어야 합니다. 산가쿠를 읽는 일은 옛 그림을 감상하는 데서 끝나지 않고, 그림을 문장과 거리와 반례로 번역하는 일입니다.