단사와 전사의 조건을 모두 만족하는 전단사가 같은 기수의 기준이다.

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생각그림 6 · 단사와 전사의 조건을 모두 만족하는 전단사가 같은 기수의 기준이다.

두 집합의 크기가 같다는 현대의 기준은 원소를 빠짐없이, 겹치지 않게 짝지을 수 있는가이다. 서로 다른 입력이 서로 다른 출력으로 가면 단사이고, 목표 집합의 모든 원소에 원상이 있으면 전사다. 두 조건을 함께 만족하는 전단사, 곧 일대일 대응이 있으면 두 집합의 기수는 같다. 호텔에서는 손님과 방의 대응을 직접 제시함으로써 “몇 개냐”를 비교한다. 이 기준은 유한 집합에도 맞지만, 무한 집합에서는 전체와 진부분집합이 같은 기수를 가질 수 있다는 낯선 결과를 낳는다.