만실 표지 앞에 선 한 사람
밤늦게 도착한 손님이 객실이 자연수 1, 2, 3, …로 번호 매겨진 호텔의 문을 두드린다. 모든 방에는 이미 한 명씩 묵고 있다. 유한한 호텔이라면 이야기는 여기서 끝난다. 그런데 이 호텔의 지배인은 1번 방 손님을 2번으로, 2번을 3번으로, 일반적으로 n번 방 손님을 n+1번 방으로 옮기겠다고 한다. 그러면 1번 방이 비고 새 손님이 들어간다. “만실”인데도 자리가 생기는 까닭을 이해하려면, 객실이 아주 많다는 말과 자연수만큼 끝없이 있다는 말을 구별해야 한다.
힐베르트의 강연에서 가모프의 책까지
수학사 연구자 헬게 크라흐가 남은 강연 기록을 추적한 결과, 다비트 힐베르트는 1924년 1월 괴팅겐 강연에서 이 호텔 이야기를 사용했지만 글로 출판하지는 않았다. 널리 알려진 계기는 조지 가모프가 1947년 대중 과학서에서 소개한 뒤였다. 이 역사는 호텔을 고대의 수수께끼처럼 꾸미지 않도록 해 준다. 이야기는 무한 집합을 실제로 다루기 시작한 근대 수학 뒤에 생긴 설명 장치이며, 힐베르트 자신의 출판 논문이 아니라 강연 사례로 전해졌다.
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끝없는 복도에는 마지막 방이 없다
호텔의 객실 집합을 양의 정수 {1, 2, 3, …}와 정확히 짝짓는다. 각 객실에는 다음 번호가 있고, 아무리 큰 번호를 골라도 그보다 큰 번호가 있다. 따라서 “모든 방이 찼다”는 말은 “마지막 방까지 찼다”는 뜻이 아니다. 이 모형에는 마지막 방 자체가 없다. 점 세 개는 매우 큰 유한한 수를 생략한 장식이 아니라, 임의의 자연수 뒤에도 다음 수가 있다는 규칙을 나타낸다. 이 조건을 놓치면 지배인의 이동은 끝방 손님을 복도로 내보내는 속임수처럼 보인다.
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유한 호텔에서는 같은 이동이 실패한다
방이 N개뿐인 호텔에서 n번 손님을 n+1번 방으로 옮기면 N번 손님에게 N+1번 방이 필요하다. 하지만 그런 방은 없으므로 한 명을 위한 빈방을 만들지 못한다. 무한 호텔에서 같은 식이 작동하는 까닭은 “아주 큰 N”을 택했기 때문이 아니다. 상한이 되는 마지막 번호가 없기 때문이다. 유한한 경우와 가산무한한 경우의 차이는 손님 수가 체감상 많고 적은 차이가 아니라, 이동 규칙이 모든 손님에게 값을 줄 수 있는지의 차이다.
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한 손님을 받을 때의 함수
기존 손님의 방 번호를 n이라 하고 새 방 번호를 f(n)=n+1로 정한다. 서로 다른 두 번호 n과 m은 이동 뒤에도 n+1과 m+1로 달라서 충돌하지 않는다. 또 2번 이상의 모든 방에는 바로 앞 번호의 손님이 들어온다. 1번 방만 어느 기존 손님의 목적지도 아니므로 비게 된다. 말로 “모두 한 칸씩”이라고만 하면 끝없이 많은 명령을 차례로 수행하는 장면을 떠올리기 쉽다. 수학적 핵심은 각 손님의 목적지를 한 번에 지정하는 함수가 완전하게 정의됐다는 데 있다.
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일대일 대응으로 크기를 비교한다
두 집합의 크기가 같다는 현대의 기준은 원소를 빠짐없이, 겹치지 않게 짝지을 수 있는가이다. 서로 다른 입력이 서로 다른 출력으로 가면 단사이고, 목표 집합의 모든 원소에 원상이 있으면 전사다. 두 조건을 함께 만족하는 전단사, 곧 일대일 대응이 있으면 두 집합의 기수는 같다. 호텔에서는 손님과 방의 대응을 직접 제시함으로써 “몇 개냐”를 비교한다. 이 기준은 유한 집합에도 맞지만, 무한 집합에서는 전체와 진부분집합이 같은 기수를 가질 수 있다는 낯선 결과를 낳는다.
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가산무한 명이 한꺼번에 도착한다면
새 손님도 1, 2, 3, …으로 번호 붙일 수 있을 만큼 가산무한 명이라고 하자. 기존 n번 방 손님은 2n번 방으로 옮긴다. 그러면 기존 손님은 짝수 방 2, 4, 6, …을 모두 차지한다. 새 손님 k는 2k−1번 방으로 안내한다. 새 손님은 홀수 방 1, 3, 5, …을 모두 차지한다. 한 칸 이동으로는 1번 방 하나만 비지만, 두 배 이동은 홀수 방 전체를 비운다. 가산무한한 새 목록을 자연수 방 목록에 끼워 넣는 정확한 규칙이다.
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충돌과 누락을 따로 확인한다
배정표가 그럴듯해 보여도 두 검사를 통과해야 한다. 첫째, 기존 손님 두 명은 서로 다른 짝수 방으로 가고 새 손님 두 명은 서로 다른 홀수 방으로 가며, 홀수와 짝수는 겹치지 않는다. 따라서 한 방에 두 명이 배정되지 않는다. 둘째, 모든 양의 정수는 홀수이거나 짝수이므로 어느 방도 빠지지 않는다. 짝수 2r에는 기존 r번 손님이, 홀수 2r−1에는 새 r번 손님이 정확히 들어온다. 이 역함수 확인까지 해야 “모두 수용했다”는 결론이 완성된다.
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갈릴레오가 먼저 만난 제곱수의 긴장
1638년에 출판된 갈릴레오 갈릴레이의 《두 가지 새로운 과학》 첫째 날 대화에는 자연수와 제곱수를 비교하는 장면이 나온다. 살비아티는 제곱수가 전체 자연수의 일부이므로 더 적어 보인다고 말한 뒤, 각 자연수 n이 제곱수 n²과 하나씩 대응한다는 점을 제시한다. 모든 제곱수에는 하나의 양의 정수 제곱근이 있고, 모든 양의 정수는 어떤 제곱수의 제곱근이다. 호텔보다 거의 세 세기 앞서, 전체와 그 일부 사이의 일대일 대응이 같은 긴장을 드러낸 셈이다.
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자연수와 제곱수의 짝을 실제로 적어 본다
대응은 1↔1, 2↔4, 3↔9, 4↔16, 일반적으로 n↔n²이다. 서로 다른 양의 정수는 서로 다른 제곱수를 만들고, 양의 정수의 제곱인 수는 모두 이 목록에서 정확히 한 번 나온다. 따라서 양의 정수 전체와 양의 제곱수 집합 사이에 전단사가 있다. 유한 집합에서는 진부분집합이 원래 집합과 같은 크기일 수 없지만, 이 짝짓기는 무한 집합에서 바로 그 일이 일어남을 보인다. 호텔의 n↦2n 이동도 자연수 전체를 짝수라는 진부분집합과 대응시키는 같은 구조다.
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제곱수는 점점 드물어져도 기수는 같다
1부터 N까지의 제곱수 개수는 ⌊√N⌋이다. N=100이면 10개라서 비율은 1/10이고, N=10,000이면 100개라서 1/100이다. N이 커질수록 ⌊√N⌋/N은 0에 가까워진다. 제곱수가 자연수 사이에서 점점 성기게 놓인다는 뜻이다. 그러나 희소성은 일대일 대응의 존재와 다른 척도다. 밀도는 긴 첫 구간에서 차지하는 비율을 재고, 기수는 전체 원소를 빠짐없이 짝지을 수 있는지를 묻는다. “같은 수”와 “같은 밀도”를 섞으면 갈릴레오의 사례가 다시 모순처럼 보인다.
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갈릴레오의 결론과 현대의 결론을 구별한다
갈릴레오의 대화 속 살비아티는 자연수와 제곱수가 모두 무한하며, 무한한 양에는 같음·큼·작음이라는 속성을 적용할 수 없다고 결론 내린다. 오늘의 집합론은 여기서 다른 길을 택한다. 전단사를 크기 비교의 기준으로 삼아 두 집합의 기수가 같다고 말한다. 그러므로 갈릴레오가 현대 기수론을 완성했다고 쓰는 것도, 그가 대응을 보지 못했다고 쓰는 것도 부정확하다. 그는 대응을 분명히 제시했지만, 그 대응에서 끌어낸 철학적 결론은 후대의 칸토어·데데킨트 체계와 달랐다.
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데데킨트가 무한 집합의 특징으로 삼은 것
리하르트 데데킨트는 1888년 《수란 무엇이며 무엇이어야 하는가》 §64에서 한 체계가 자기 자신의 진부분과 서로 닮음, 곧 일대일 대응을 이룰 때 무한하다고 정의했다. 자연수 전체와 짝수 전체의 n↦2n 대응, 자연수 전체와 제곱수 전체의 n↦n² 대응이 그 성질을 보여 준다. 힐베르트 호텔에서 기존 손님을 2n번 방으로 옮기는 일도 같은 형식이다. 빈 홀수 방이 무한히 생긴다는 말은 방을 새로 건설했다는 뜻이 아니라, 전체를 진부분집합에 재배치했다는 뜻이다.
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모든 무한이 이 호텔에 들어오는 것은 아니다
방 번호가 자연수인 호텔이 수용할 수 있는 것은 자연수로 빠짐없이 목록을 만들 수 있는 집합, 곧 가산 집합이다. 정수나 유리수는 적절한 순서를 정하면 이런 목록을 만들 수 있다. 반면 실수 전체는 자연수와 전단사를 만들 수 없는 비가산 집합이다. 따라서 “무한 호텔에는 무한히 많은 손님이 언제나 들어간다”는 문장은 틀리다. 새 손님 집합이 가산무한이라는 조건이 필요하다. 무한에도 서로 다른 기수가 있으며, 방 목록의 기수보다 큰 집합은 재배열만으로 수용할 수 없다.
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수학적 재배치와 물리적 호텔은 다르다
이 호텔은 실제 건축 설계가 아니라 자연수 집합의 대응을 눈앞에 보이게 만든 사고실험이다. 각 손님에게 새 방을 지정하는 함수가 존재한다는 것과, 무한히 많은 사람이 신호를 받고 짐을 옮겨 같은 시각에 이동을 마칠 수 있다는 것은 다른 주장이다. 복도의 길이, 이동 속도, 통신 시간, 에너지 같은 물리량은 이 집합론 모형에 들어 있지 않다. 그래서 호텔의 배정 성공을 “현실에서도 무한 단계가 완료된다”는 증거로 사용하면 모형의 범위를 넘어선다.
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만실의 뜻을 바꾸는 무한의 규칙
힐베르트 호텔은 빈방을 몰래 숨긴 이야기가 아니다. 자연수 번호의 모든 방이 점유된 상태에서도, 전체 손님 집합을 방 집합의 진부분집합에 일대일로 옮길 수 있다는 가산무한의 성질을 보여 준다. 한 손님에는 n↦n+1, 가산무한 손님에는 기존 n↦2n과 새 k↦2k−1이라는 규칙이 답을 낸다. 갈릴레오의 제곱수 대응은 같은 긴장을 먼저 드러냈고, 현대 집합론은 전단사와 기수로 그것을 정리했다. 다음 회차의 톰슨 램프는 여기서 한 걸음 비켜서서, 무한한 대응이 아니라 유한한 시간 안의 무한한 작동이 무엇을 남기는지 묻는다.
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