자연수로 목록화되는 가산 집합과 목록화되지 않는 실수 집합을 구별했다.

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생각그림 14 · 자연수로 목록화되는 가산 집합과 목록화되지 않는 실수 집합을 구별했다.

방 번호가 자연수인 호텔이 수용할 수 있는 것은 자연수로 빠짐없이 목록을 만들 수 있는 집합, 곧 가산 집합이다. 정수나 유리수는 적절한 순서를 정하면 이런 목록을 만들 수 있다. 반면 실수 전체는 자연수와 전단사를 만들 수 없는 비가산 집합이다. 따라서 “무한 호텔에는 무한히 많은 손님이 언제나 들어간다”는 문장은 틀리다. 새 손님 집합이 가산무한이라는 조건이 필요하다. 무한에도 서로 다른 기수가 있으며, 방 목록의 기수보다 큰 집합은 재배열만으로 수용할 수 없다.