제곱수의 구간 밀도는 0으로 가지만 자연수와의 기수는 같다.
생각그림 11 · 제곱수의 구간 밀도는 0으로 가지만 자연수와의 기수는 같다.
그림에서 무엇을 볼까요?
생각그림 11 · 제곱수의 구간 밀도는 0으로 가지만 자연수와의 기수는 같다.
1부터 N까지의 제곱수 개수는 ⌊√N⌋이다. N=100이면 10개라서 비율은 1/10이고, N=10,000이면 100개라서 1/100이다. N이 커질수록 ⌊√N⌋/N은 0에 가까워진다. 제곱수가 자연수 사이에서 점점 성기게 놓인다는 뜻이다. 그러나 희소성은 일대일 대응의 존재와 다른 척도다. 밀도는 긴 첫 구간에서 차지하는 비율을 재고, 기수는 전체 원소를 빠짐없이 짝지을 수 있는지를 묻는다. “같은 수”와 “같은 밀도”를 섞으면 갈릴레오의 사례가 다시 모순처럼 보인다.
1924년 힐베르트의 강연 사례가 1947년 가모프의 책을 거쳐 알려진 경로를 구분했다.
자연수 번호의 복도에는 마지막 방이 없고, 임의의 n 뒤에 n+1이 있다.
유한 호텔에서는 마지막 손님의 목적지가 없지만 자연수 호텔에는 모든 n의 다음 방이 있다.