남은 틈을 절반보다 작게 줄이면 어떤 양의 차이도 넘어선다

그림에서 무엇을 볼까요?

반지름 1인 원에서 정6각형부터 정96각형까지 내접 넓이는 증가하고 외접 넓이는 감소해 3.14 부근의 좁은 구간으로 원 넓이를 끼우는 도해

유클리드 『원론』 X권 1명제는 큰 양에서 그 절반보다 큰 부분을 계속 빼면, 남는 양을 미리 정한 더 작은 양보다 작게 만들 수 있다고 말합니다. XII권 2명제는 이 원리를 원에 내접한 정사각형에서 정팔각형·정16각형으로 변을 두 배씩 늘리는 과정에 사용합니다.

핵심은 ‘무한히 계속하면 언젠가 닿는다’라는 막연한 말이 아닙니다. A와 T가 다르다고 가정하면 그 차이는 어떤 양수 δ입니다. 다각형을 충분히 촘촘히 만들어 원과 다각형 사이의 남은 넓이를 δ보다 작게 할 수 있습니다. 그 순간 가정한 차이보다 작은 틈 안에 모순이 드러납니다.