원과 삼각형은 모양이 아니라 두 길이의 관계로 연결된다

그림에서 무엇을 볼까요?

반지름 r과 원둘레 C를 표시한 원, 밑변 C와 높이 r인 직각삼각형, 내접·외접 다각형 넓이가 목표값의 아래와 위에 놓이는 관계도

반지름을 r, 원둘레를 C라고 합시다. 밑변이 C이고 높이가 r인 직각삼각형의 넓이는 T=½Cr입니다. 『원의 측정』 제1명제가 보이려는 것은 원의 넓이 A와 T가 같다는 것입니다. 이 삼각형은 원을 잘라 실제로 재배열한 그림이 아니라, 증명할 목표값을 나타내는 비교 대상입니다.

원 안에 정n각형을 그어 중심에서 각 변으로 선을 이으면, 다각형은 밑변이 각 변이고 높이가 중심에서 그 변까지의 거리인 삼각형 n개로 나뉩니다. 이 거리인 내접다각형의 아포템은 r보다 짧고, 변 길이의 합인 둘레 p도 C보다 짧습니다. 따라서 그 넓이는 ½p·a이고 T=½C·r보다 작습니다.