다각형을 촘촘히 그리면 원의 넓이를 증명할 수 있을까?

저술의 시대와 살아남은 책의 시대를 나누어 읽는다

아르키메데스는 대략 기원전 287~212년에 활동했습니다. 『원의 측정』에는 세 명제가 전하며, 첫 명제는 원의 넓이와 특정 직각삼각형의 넓이를 같다고 놓습니다. 세 번째 명제는 내접·외접 96각형을 이용해 원둘레와 지름의 비를 3과 10/71보다 크고 3과 1/7보다 작게 묶습니다.[2][1]

우리가 읽는 문장은 아르키메데스가 손수 쓴 기원전 3세기 종이가 아닙니다. 아르키메데스 팔림프세스트 프로젝트는 현존 사본의 밑글씨가 10세기 후반 콘스탄티노폴리스에서 베껴졌고, 그 양피지가 1229년에 완성된 기도서를 만들 때 긁혀 다시 쓰였다고 설명합니다. 이 사본에는 『원의 측정』도 들어 있지만, 그 저술의 다른 전승 계통도 존재합니다.[5][6]

따라서 ‘기원전 3세기의 증명’, ‘10세기의 필사본’, ‘13세기의 재사용’, ‘1897년의 영어 번역’, ‘20~21세기의 보존과 판독’을 한 시점으로 겹치지 않아야 합니다. 연표는 수학적 생각의 시기와 우리가 그것을 확인하는 자료의 시기를 분리합니다.

원과 삼각형은 모양이 아니라 두 길이의 관계로 연결된다

반지름을 r, 원둘레를 C라고 합시다. 밑변이 C이고 높이가 r인 직각삼각형의 넓이는 T=½Cr입니다. 『원의 측정』 제1명제가 보이려는 것은 원의 넓이 A와 T가 같다는 것입니다. 이 삼각형은 원을 잘라 실제로 재배열한 그림이 아니라, 증명할 목표값을 나타내는 비교 대상입니다.[1][2]

원 안에 정n각형을 그어 중심에서 각 변으로 선을 이으면, 다각형은 밑변이 각 변이고 높이가 중심에서 그 변까지의 거리인 삼각형 n개로 나뉩니다. 이 거리인 내접다각형의 아포템은 r보다 짧고, 변 길이의 합인 둘레 p도 C보다 짧습니다. 따라서 그 넓이는 ½p·a이고 T=½C·r보다 작습니다.

원 밖에서 각 변이 원에 접하는 정n각형은 중심에서 각 변까지의 거리가 정확히 r입니다. 넓이는 ½P·r이고, 바깥 다각형 둘레 P가 C보다 길므로 T보다 큽니다. 안쪽 다각형은 T 아래, 바깥쪽 다각형은 T 위에 놓이는 두 울타리가 됩니다.

질문 1. 내접다각형의 둘레가 C보다 짧다는 사실만으로 원의 넓이 A도 T보다 작다고 결론 내릴 수 있을까요? 해설: 아닙니다. 그 사실은 내접다각형의 넓이가 T보다 작다는 것만 보입니다. 원과 T를 직접 비교하려면 다각형이 원의 남은 틈을 원하는 만큼 작게 만들 수 있다는 추가 논리가 필요합니다.

남은 틈을 절반보다 작게 줄이면 어떤 양의 차이도 넘어선다

유클리드 『원론』 X권 1명제는 큰 양에서 그 절반보다 큰 부분을 계속 빼면, 남는 양을 미리 정한 더 작은 양보다 작게 만들 수 있다고 말합니다. XII권 2명제는 이 원리를 원에 내접한 정사각형에서 정팔각형·정16각형으로 변을 두 배씩 늘리는 과정에 사용합니다.[3][4]

핵심은 ‘무한히 계속하면 언젠가 닿는다’라는 막연한 말이 아닙니다. A와 T가 다르다고 가정하면 그 차이는 어떤 양수 δ입니다. 다각형을 충분히 촘촘히 만들어 원과 다각형 사이의 남은 넓이를 δ보다 작게 할 수 있습니다. 그 순간 가정한 차이보다 작은 틈 안에 모순이 드러납니다.

반지름 1인 원을 현대식 삼각함수로 다시 계산하면 내접·외접 정다각형의 넓이는 각각 (n/2)sin(2π/n), n·tan(π/n)입니다. 아래 수치는 원문 계산을 옮긴 것이 아니라, 울타리 사이 간격이 어떻게 줄어드는지 확인하는 교육용 재계산입니다.

질문 2. 정96각형의 두 값이 소수 셋째 자리까지 가깝다면 A=T가 증명된 것일까요? 해설: 아직 아닙니다. 유한한 두 근삿값은 A와 T가 매우 가깝다는 강한 수치 증거를 주지만, 작은 양의 차이가 남았을 가능성을 혼자 없애지는 못합니다. 증명은 가정한 어떤 양의 차이보다도 더 작은 틈을 만들 수 있다는 일반 논리를 사용합니다.

원이 목표 삼각형보다 크다고 가정하면 안쪽 다각형이 두 말을 동시에 요구받는다

먼저 A>T라고 가정합시다. 차이 δ=A−T는 양수입니다. 원과 내접다각형 사이의 남은 넓이가 δ보다 작아지도록 변의 수를 충분히 늘립니다. 그러면 내접다각형 넓이 I는 A−I< A−T이므로 I>T가 됩니다.

그러나 같은 내접다각형을 중심에서 각 변으로 나누어 계산하면 I=½p·a입니다. p<C이고 a<r이므로 I<T입니다. 하나의 I가 T보다 크면서 동시에 작아야 하므로 처음의 A>T 가정이 모순입니다.

그림이 하는 일은 원 안을 채워 가는 후보를 제공하는 것입니다. 증명이 하는 일은 가정한 차이 δ를 먼저 세운 뒤, 그 차이보다 작은 남은 틈을 선택해 불가능한 두 부등식을 만드는 것입니다.

원이 목표 삼각형보다 작다는 가능성도 바깥 다각형으로 지운다

A<T를 가정하면 차이 ε=T−A가 양수입니다. 이번에는 원을 둘러싼 외접다각형을 충분히 촘촘히 골라 바깥 다각형과 원 사이의 넓이 O−A가 ε보다 작게 합니다. 그러면 O−A<T−A이므로 O<T입니다.

하지만 외접다각형은 각 변이 원에 접하므로 중심에서 변까지의 높이가 r입니다. 그 둘레 P는 C보다 길어 O=½P·r>T입니다. 따라서 O<T와 O>T가 충돌하고 A<T 가정도 버려집니다.

A가 T보다 클 수도 없고 작을 수도 없다면 남는 관계는 A=T입니다. 미국수학협회 자료가 이 증명을 ‘두 번의 귀류법’으로 설명하는 이유입니다. 한쪽 가능성만 지웠다면 등식까지 도달하지 못합니다.[7][1]

질문 3. A>T가 모순임을 보인 뒤 곧바로 A=T라고 말해도 될까요? 해설: 아닙니다. 그때 남는 것은 A≤T입니다. A<T 가능성까지 별도의 외접다각형 논증으로 지워야 정확히 A=T라고 결론 내릴 수 있습니다.

그림은 가설을 찾고, 부등식은 빈틈을 막는다

원의 부채꼴을 잘게 잘라 번갈아 놓으면 거의 직사각형처럼 보입니다. 이 현대적 설명은 A=πr²을 직관적으로 기억하는 데 유용하지만, 굽은 위아래 경계가 정확히 직선이 되는 유한 단계는 없습니다. 그것을 아르키메데스의 제1명제 원문 그림으로 소개해서도 안 됩니다.

소진법에서는 그림과 기호가 서로 다른 일을 맡습니다. 내접·외접 다각형은 넓이를 아래와 위에서 비교할 구조를 보여 줍니다. ‘남은 틈을 미리 정한 차이보다 작게 만들 수 있다’는 명제는 가까워 보인다는 인상을 모든 양의 차이에 대한 논증으로 바꿉니다.

또 하나의 구별은 발견과 증명입니다. 팔림프세스트에 보존된 『방법』에서 아르키메데스는 기계적 방법으로 결과를 먼저 알아도 기하학적 증명이 따로 필요하다고 설명합니다. 팔림프세스트는 『원의 측정』과 『방법』을 함께 보존하지만, 두 저술의 역할을 하나로 섞어서는 안 됩니다.[8][6]

같은 논리를 온도 측정의 오차 구간에 옮겨 본다

활동: 어떤 기준 온도 T와 실제 온도 X가 있습니다. 반복 측정으로 얻는 구간 [Lₙ,Uₙ]이 매번 X와 T를 모두 포함하고, 어떤 양의 폭 δ를 주어도 Uₙ−Lₙ<δ가 되는 구간을 고를 수 있다고 합시다. X>T라고 가정한 뒤 δ=X−T보다 폭이 좁은 구간을 고르면 어떤 모순이 생기는지 적어 보세요.

해설: X와 T 사이의 거리는 X−T인데, 두 수를 모두 포함하는 구간의 폭이 그 거리보다 작을 수는 없습니다. 따라서 X>T 가정이 무너집니다. X<T도 δ=T−X로 같은 모순을 만들 수 있으므로 X=T만 남습니다. 핵심은 ‘측정값이 비슷하다’가 아니라 가정한 차이보다 더 좁으면서 두 값을 모두 포함하는 경계를 선택하는 것입니다.

역사적 한계도 남습니다. 팔림프세스트는 『원의 측정』을 전하는 여러 사본 계통 가운데 하나이며, 현대 판본은 서로 다른 증거를 비교해 고대 문장을 복원합니다. 이 글은 전승된 제1명제의 논증 구조와 제3명제의 96각형 경계만 다루며, 아르키메데스의 자필 도해나 실제 발견 순서를 복원했다고 말하지 않습니다.[1][6][2]

소진법의 중요한 유산은 원을 아주 많은 조각으로 ‘만들어 버리는’ 데 있지 않습니다. 눈으로 찾은 목표를 크다·작다 두 가정으로 나누고, 각 가정이 허용하는 양의 틈보다 정교한 비교 대상을 골라 모순을 보이는 데 있습니다. 가까움이 증명이 되는 순간은 그림이 촘촘해질 때가 아니라, 남아 있을 수 있는 모든 양의 차이에 답할 때입니다.