대표값 하나가 남기지 않는 것
독서 모임의 운영자가 세 모둠의 하루 독서 시간을 비교합니다. 고른 모둠은 일곱 명 모두 30분입니다. 완만한 모둠은 10·20·25·30·35·40·50분, 양끝 모둠은 0·0·20·30·40·60·60분입니다. 세 모둠의 합은 모두 210분이므로 평균은 30분입니다. 크기순 네 번째 값인 중앙값도 모두 30분입니다. 대표값 두 개만 놓으면 세 모둠은 같은 것처럼 보입니다.
하지만 질문을 바꾸면 차이가 나타납니다. ‘대부분 비슷하게 읽었는가’라고 물으면 고른 모둠이 두드러집니다. ‘전혀 읽지 않은 사람과 한 시간 읽은 사람이 함께 있는가’라고 물으면 양끝 모둠만 해당합니다. 평균은 각 값의 합을 사람 수로 나눈 중심이고, 누가 그 중심에서 얼마나 멀리 떨어졌는지는 따로 보여 주지 않습니다.
아래 활동에서 모둠을 바꾸며 점의 위치를 먼저 예측해 보세요. 평균선은 같은 자리에 머물지만 점들은 겹치거나 좌우로 벌어집니다. 수치 한 줄과 원자료 그림을 함께 읽으면 ‘중심이 같다’와 ‘구성이 같다’를 분리할 수 있습니다.
참고 · 미국 국립표준기술연구소(NIST) 정보기술연구소 — 원자료의 모양을 먼저 살피는 탐색적 자료 분석 ↗
퍼짐을 재면 다른 질문이 보인다
가장 큰 값에서 가장 작은 값을 뺀 범위는 고른 모둠 0분, 완만한 모둠 40분, 양끝 모둠 60분입니다. 다만 범위는 두 끝값만 사용합니다. 가운데 다섯 사람이 어떻게 모여 있는지는 알려 주지 않습니다. 그래서 활동에는 각 값이 평균에서 얼마나 떨어졌는지를 함께 반영하는 표본 표준편차도 표시했습니다.
NIST 자료의 표본 표준편차 정의처럼, 일곱 값에서 평균 30을 뺀 차이를 제곱해 더한 뒤 사람 수보다 하나 작은 6으로 나누고 제곱근을 취합니다. 고른 모둠은 0.0분, 완만한 모둠은 약 13.2분, 양끝 모둠은 약 25.2분입니다. 멀리 떨어진 값은 제곱 과정에서 더 큰 영향을 줍니다.
퍼짐에도 하나의 만능 척도가 있는 것은 아닙니다. 범위는 끝값에, 사분위범위는 가운데 절반에, 표준편차는 평균에서 떨어진 모든 거리에 서로 다른 방식으로 반응합니다. 먼저 실제 점그림을 보고, 판단하려는 질문에 맞는 수치를 고르는 순서가 안전합니다.
같은 평균을 어떤 결정에 쓸 것인가
세 모둠의 평균이 같다는 사실은 총 독서 시간이나 1인당 배정 시간을 계산할 때 유용합니다. 그러나 지원이 필요한 사람을 찾으려면 0분인 사람이 있는지 봐야 합니다. 모임 시간을 한 구간에 맞추려면 값이 얼마나 흩어졌는지가 중요합니다. 같은 자료라도 의사결정의 목적에 따라 확인할 부분이 달라집니다.
양끝 모둠에서 60분 두 사람을 ‘이상하다’며 지우면 평균과 퍼짐이 모두 달라집니다. 높은 값이 입력 실수인지, 실제로 열심히 읽은 기록인지 조사하기 전에 제거해서는 안 됩니다. 점의 이유를 확인하는 일과 계산 편의를 위해 값을 없애는 일은 구분해야 합니다.
다른 보고서에도 적용해 보세요. 병원의 평균 대기시간, 학급의 평균 점수, 배송의 평균 소요시간이 같아도 극단값과 퍼짐은 다를 수 있습니다. 보고서에는 평균과 분모, 원자료의 분포 또는 적절한 퍼짐 척도, 제외한 값과 그 이유를 함께 남기세요. 그러면 대표값이 답하는 질문과 답하지 못하는 질문이 또렷해집니다. 시간 순서가 있는 자료라면 같은 평균 아래 특정 시기의 급격한 변화도 가려질 수 있으므로 기록 순서도 보존해야 합니다.