원래 문장과 역은 화살표가 다르다
건물의 출입 기록을 검토한다고 합시다. 규칙은 ‘직원 카드가 인증되면 문이 열린다’입니다. 직원 카드 인증을 P, 문 열림을 Q라고 쓰면 P→Q입니다. 이 문장은 P가 참인데 Q가 거짓인 기록, 곧 직원 카드는 인증됐지만 문이 열리지 않은 한 경우에서만 깨집니다. P가 거짓일 때 방문증이나 수동 개방으로 문이 열리는지는 이 규칙만으로 제한하지 않습니다.
역은 방향만 바꾼 Q→P, ‘문이 열리면 직원 카드가 인증됐다’입니다. 방문증으로 문이 열린 기록은 P가 거짓이고 Q가 참입니다. 원래 P→Q는 이 기록과 양립하지만 역 Q→P는 거짓입니다. 그러므로 원래 문장이 참이라는 사실만으로 역을 덧붙일 수 없습니다. 양방향을 주장하려면 P→Q와 Q→P를 각각 뒷받침해야 합니다.
Open Logic Project의 공개 교재는 ‘P이면 Q’에서 P를 전건, Q를 후건으로 부르고, 화살표가 참·거짓 값의 관계만 나타낼 뿐 원인까지 말하지는 않는다고 설명합니다. 여기서는 그 질료 조건문 모형으로 방향 차이를 분리합니다. 실제 규정 문장은 예외·시간·권한 같은 조건을 더 포함할 수 있습니다.
참고 · P. D. Magnus·Tim Button 외 / Open Logic Project — 조건문의 전건·후건과 방향 ↗
대우는 양쪽을 부정하고 방향을 바꾼다
대우는 ¬Q→¬P, ‘문이 열리지 않았다면 직원 카드가 인증되지 않았다’입니다. 역처럼 화살표만 돌린 것이 아니라, Q와 P를 각각 부정한 뒤 순서도 바꿉니다. 이 문장이 깨지려면 ¬Q가 참이고 ¬P가 거짓이어야 합니다. 다시 말해 Q는 거짓이고 P는 참이어야 하므로, 원래 P→Q를 깨는 바로 그 기록과 같습니다.
네 조합을 모두 쓰면 더 분명합니다. P·Q가 참참이면 원문과 대우가 모두 참이고, 참거짓이면 둘 다 거짓입니다. 거짓참과 거짓거짓에서는 둘 다 참입니다. Open Logic Project는 두 문장이 모든 값 배정에서 같은 참·거짓을 가질 때 논리적으로 동치라고 정의합니다. 따라서 이 진리함수 모형에서 원문과 대우는 동치지만, 역은 거짓참 행에서 달라질 수 있습니다.
아래 활동에서 직원 카드와 문 열림을 켜고 끄세요. 선택한 행뿐 아니라 네 행 전체가 보이므로 우연히 한 사례에서 같았던 것과 항상 같은 것을 구분할 수 있습니다. ‘원문=대우’ 배지는 모든 행에서 일치한다는 검사 결과이고, ‘역과 다름’은 현재 행에서 실제로 값이 갈라질 때만 나타납니다.
참고 · P. D. Magnus·Tim Button 외 / Open Logic Project — 모든 값 배정으로 확인하는 논리적 동치 ↗
생활 문장에 옮길 때 먼저 범위를 고정하기
‘정상 결제라면 영수증이 발행된다’를 읽을 때 영수증이 없다는 사실에서 정상 결제가 아니라고 판단하는 것은 대우입니다. 반면 영수증이 있다는 사실에서 정상 결제를 확정하는 것은 역이므로, 시험 출력이나 수동 발행 같은 다른 경로를 확인해야 합니다. 기호를 쓰기 전 P와 Q가 정확히 무엇인지, 같은 시간과 같은 대상에 관한 말인지 고정하세요.
다만 일상 언어의 ‘만약’에는 시간, 원인, 약속, 가능성의 뜻이 섞입니다. 공개 교재도 반사실적 조건문 같은 표현은 참·거짓 두 값만으로 충분히 다루기 어렵다고 경고합니다. 다른 상황에 적용할 때는 먼저 문장을 P→Q로 단순화해도 되는지 묻고, 가능하다면 네 조합을 적어 원문·역·대우를 비교하세요. 단순화가 놓치는 예외는 별도 조건으로 남겨 두는 것이 안전합니다. 이 경계를 적는 일도 논리적 검토의 일부입니다.