줄 하나로 넓이를 설계하다

제단을 만드는 일이 기하학의 질문이 되다

『슐바수트라』(Śulbasūtras)는 고대 인도의 베다 의례에 필요한 제단을 만드는 규칙을 담은 문헌들입니다. 바우다야나와 아파스탐바 등 여러 이름으로 전해집니다. 주요 문헌은 대체로 기원전 1천년기의 전통으로 다루지만, 성립 시기를 정확한 연도로 확정하기는 어렵습니다. 한 사람이 한 번에 완성한 단일 저작으로 읽기보다 여러 문헌의 규칙을 구별해 살펴볼 필요가 있습니다.[1][2]

이 문헌에는 도형의 넓이를 합치거나 빼고, 다른 모양으로 바꾸는 절차가 등장합니다. 제단의 형태와 치수를 맞추려는 과제는 ‘같은 넓이를 어떻게 다른 형태에 담을까?’라는 질문으로 이어집니다. 여기서는 바우다야나의 규칙 두 가지를 골라 살펴보겠습니다.[1]

아래의 색과 문자, 수치 예시는 이해를 돕기 위해 새로 정했습니다. 고대 제단의 실측도나 유물 복원도가 아닙니다. 길이는 모두 하나의 공통 단위를 사용하고, 줄은 늘어나지 않으며 평면 위의 선과 직각을 정확히 만들 수 있다고 가정합니다. 실제 측량에서 생기는 오차와 작도 규칙 자체의 성질을 나누어 보기 위한 조건입니다.

빈 모서리가 다음 길이를 알려 준다

바우다야나의 직사각형 변환 규칙은 짧은 변을 한 변으로 하는 정사각형을 먼저 떼어 놓습니다. 남은 직사각형을 둘로 나누고, 그중 한 조각을 옆으로 옮깁니다. 모서리에 작은 정사각형이 비어 있는 모양을 만든 뒤, 두 정사각형의 넓이 차이를 이용해 필요한 변을 찾는 절차입니다. 비부티부샨 다타의 연구서에는 이 규칙의 번역과 해설이 함께 실려 있습니다.[1]

가로 8, 세로 2인 직사각형으로 해보겠습니다. 왼쪽의 2 × 2 정사각형을 남기고, 나머지 6 × 2 부분을 3 × 2 조각 두 개로 나눕니다. 한 조각을 90도 돌려 작은 정사각형 위에 놓으면, 바깥 길이가 5인 정사각형에서 모서리의 3 × 3 부분만 빠진 모양이 됩니다.

조각의 크기가 유지되고 겹치거나 빠진 부분이 없으므로, 옮긴 뒤의 넓이는 여전히 8 × 2 = 16입니다. 동시에 바깥 정사각형의 넓이 25에서 빈칸의 넓이 9를 뺀 값이기도 합니다. 같은 넓이를 ‘직사각형의 곱’과 ‘두 정사각형의 차이’로 읽을 수 있게 되었습니다.

여기서 작도는 아직 끝나지 않았습니다. ㄴ자 모양을 만들었을 뿐, 넓이 16인 정사각형의 변을 정하지는 않았기 때문입니다. 바깥 변 5와 빈칸의 변 3은 다음 단계에 필요한 길이를 제공합니다.

줄을 움직이면 길이 4가 나타난다

다타가 설명하는 다음 단계는 큰 정사각형의 변을 반지름으로 삼고, 작은 정사각형의 변에 대응하는 간격을 이용하는 작도입니다. 아래에서는 이를 직각삼각형 하나로 펼쳐 보였습니다. O에서 위쪽으로 길이 3을 옮겨 B를 정하고, B를 지나는 수평선을 그립니다. O에 길이 5인 줄의 한쪽 끝을 고정한 뒤 팽팽하게 움직여, 그 수평선과 만나는 오른쪽 점 P를 찾습니다.[1]

OB는 3이고 OP는 줄의 길이 5입니다. B에서 두 선이 직각으로 만납니다. 직각삼각형에서는 빗변 길이의 제곱이 나머지 두 변의 제곱을 더한 값과 같으므로, BP의 제곱은 5² − 3² = 16입니다. 길이는 양수이므로 BP = 4. 이 길이를 네 변으로 삼으면 처음 직사각형과 같은 넓이의 정사각형을 만들 수 있습니다.

줄의 끝을 움직이는 동안 OP는 변하지 않습니다. 수평선은 그 끝이 도착할 수 있는 위치에 또 하나의 조건을 줍니다. 두 조건을 동시에 만족하는 점을 찾으면 새 길이가 정해집니다. 손의 움직임에 ‘무엇을 유지하고 어디에서 멈출 것인가’라는 논리가 담겨 있습니다.

이번 수치는 계산을 쉽게 읽도록 골랐습니다. 일반적으로 긴 변이 a, 짧은 변이 b인 직사각형에서는 바깥 정사각형의 변이 (a + b)/2, 빈칸의 변이 (a − b)/2가 됩니다. 두 제곱의 차이는 ab입니다. 따라서 같은 원리로 넓이 ab인 정사각형의 변을 찾을 수 있습니다. 이 문자의 식과 설명은 오늘의 표기로 확인한 것입니다.

정사각형을 원으로 바꾸면 얼마나 같을까?

바우다야나에는 정사각형을 같은 넓이의 원으로 바꾸려는 규칙도 나옵니다. 중심에서 꼭짓점까지의 길이, 곧 대각선의 절반을 줄에 옮깁니다. 그 길이를 중심에서 한 변의 중점을 향해 펼치면 일부가 정사각형 밖으로 나갑니다. 중심에서 변까지의 길이에, 밖으로 나온 부분의 3분의 1을 더한 것을 원의 반지름으로 삼습니다.[1]

한 변이 2인 정사각형이라면 중심 O에서 변의 중점 M까지는 1, 꼭짓점 D까지는 √2입니다. OD와 같은 길이를 수평으로 옮긴 끝점을 E라고 하겠습니다. 바깥 부분 ME는 √2 − 1입니다. MP가 ME의 3분의 1이 되도록 P를 정하면, 새 원의 반지름 OP는 1 + (√2 − 1)/3, 약 1.13807이 됩니다.

이 반지름으로 만든 원의 넓이 πr²는 약 4.06901입니다. 정사각형의 넓이 4보다 약 0.06901, 비율로 약 1.73% 큽니다. 줄의 길이를 정확히 유지하고 규칙을 그대로 따라도 이 차이는 남습니다. 앞의 직사각형→정사각형 변환이 정확한 넓이 관계를 주었다면, 이 규칙은 넓이가 가까운 원을 줍니다.

두 도형을 겹쳐 보면 원이 바깥으로 튀어나온 곳과 정사각형의 모서리가 남는 곳이 함께 보입니다. 이 부분들이 눈으로 비슷해 보인다고 넓이가 정확히 상쇄되지는 않습니다. 도형의 겹침을 읽은 뒤 실제 크기를 확인하는 단계가 필요합니다.

당시 사람들이 이 차이를 어떻게 이해했는지는 별도의 역사적 질문입니다. 다타는 관련 아파스탐바 구절을 두고 후대 주석가들의 해석이 갈린다는 점도 소개합니다. 오늘 계산한 오차만으로 옛 저자의 인식까지 확정할 수는 없습니다. 작도의 수학적 성질과 그 성질에 대한 역사적 해석을 구별해 읽어야 합니다.[1]

설계도를 검토하는 세 가지 질문

이제 그림 속 조건을 바꾸어 보겠습니다. 아래 질문은 생각그림연구소가 새로 구성한 연습입니다. 무엇을 유지해야 하는지 읽고, 다른 수치로 추론한 다음, 그 절차를 자신의 말로 설명해 보세요.

첫 질문의 답은 ‘유지되지 않는다’입니다. 빈칸을 채우면 넓이 9가 추가되어 25가 됩니다. 같은 넓이를 설명하려면 추가한 부분을 다시 빼야 합니다. 그림에서 임시로 보탠 것이 결론에 슬쩍 포함되지는 않았는지 확인해 보세요.

두 번째에서는 처음 길이들이 모두 1.5배가 됩니다. 바깥 정사각형의 변과 줄의 길이는 7.5, 빈칸의 변은 4.5입니다. 7.5² − 4.5² = 36이므로 새 정사각형의 변은 6입니다. 원래 직사각형의 넓이 12 × 3 = 36과 일치합니다.

세 번째에서는 모든 길이가 두 배가 되므로 두 도형의 넓이는 네 배가 됩니다. 정사각형은 16, 원은 약 16.27604입니다. 넓이의 차이도 네 배인 약 0.27604가 되지만, 차이를 원래 넓이로 나눈 비율은 약 1.73%로 같습니다. ‘오차가 커졌다’고 말할 때도 크기와 비율 중 무엇을 뜻하는지 밝혀야 합니다.

자신의 생각을 설계도로 펼칠 때도 같은 질문을 던질 수 있습니다. 고정한 조건은 무엇인지, 변환하면서 더하거나 빠뜨린 것은 없는지, 마지막의 ‘같다’는 말이 정확한 일치인지 허용한 오차 안의 근사인지 적어 보세요. 그림의 각 단계에 이런 설명을 붙이면, 다른 사람도 그 생각을 따라가며 검토할 수 있습니다.