그림에도 증명의 규칙이 있을까?

프레게가 드러내고 싶었던 것

1879년, 고틀로프 프레게는 『개념표기』를 출간했습니다. 앞선 회차에서 살펴본 벤의 1880~1881년 발표보다 조금 이릅니다. 이번 연재의 순서는 질문을 넓혀 가는 순서이며, 모든 방법이 앞선 방법을 차례로 대체했다는 뜻은 아닙니다.[1]

프레게가 서문에서 제시한 목적은 분명합니다. 추론의 연결에 빈틈이 있는지 검사하고, 모르는 사이 끼어든 전제를 드러내는 것. 관계가 복잡해질수록 일상 언어만으로는 자신이 요구하는 정확성에 이르기 어렵다는 문제의식에서 출발했습니다.[1]

그는 일상 언어와 자신의 표기법의 관계를 눈과 현미경에 빗댑니다. 눈은 넓은 상황에 유연하게 쓰이지만, 아주 세밀한 구분이 필요한 일에는 특별한 도구가 유용합니다. 『개념표기』도 특정한 과학적 목적에 맞춘 도구로 설명됩니다.[1]

우리의 글쓰기에도 익숙한 문제입니다. “그러므로”라는 접속사를 썼는데, 그 앞의 문장만으로 뒤의 문장이 따라오는지 분명하지 않을 때가 있습니다. 프레게의 작업을 읽는 출발점은 바로 그 사이에 어떤 약속이 필요한지 묻는 데 있습니다.

선의 위치로 조건문을 읽다

프레게의 표기는 한 줄로만 이어지지 않습니다. 『개념표기』 제5절의 조건문은 위아래의 가로선과 이를 잇는 세로선으로 구성됩니다. 아래 가지의 내용이 조건이고, 위 가지의 내용이 그 조건에서 따라오는 내용입니다. 아래 도해는 원문의 A·B를 오늘의 연습에 맞춰 Q·P로 바꾸었습니다.[1]

P를 “자료를 제출했다”, Q를 “확인 메일을 받았다”로 놓아 보겠습니다. 아래에 P, 위에 Q가 있으면 “자료를 제출했다면 확인 메일을 받았다”입니다. 이 조건문은 연습을 위한 가정이며, 실제 서비스의 처리 방식을 설명하는 문장은 아닙니다.

맨 왼쪽의 짧은 세로선은 전체 내용을 참이라고 판단한다는 표시입니다. 프레게는 제2절에서 어떤 내용을 제시하는 것과 그것을 참이라고 판단하는 것을 구별합니다. 제5절에서는 조건문이 P가 참이고 Q가 거짓인 경우를 배제한다고 설명합니다. 선의 길이나 위아래 간격에서 시간 차이 또는 인과관계의 강도를 읽지 않습니다.[1]

조건문만으로 P나 Q가 실제로 참인지 알 수는 없습니다. “자료를 제출했다면 확인 메일을 받았다”에 “자료를 제출했다”가 더해지면 Q가 따라옵니다. 프레게는 바로 다음 제6절에서 이런 추론을 설명합니다. 조건문이 배제한 경우와 추가 전제가 배제한 경우를 합치면, 두 내용이 모두 참인 경우만 남습니다.[1]

반대로 확인 메일을 받았다는 Q를 추가해도 자료를 제출했다는 P까지 보장되지는 않습니다. P는 거짓이고 Q는 참인 경우에도 조건문은 참이기 때문입니다. 위아래 자리를 바꾸거나 추론의 방향을 뒤집는 일에는 별도의 근거가 필요합니다.

퍼스는 종이를 논리의 공간으로 삼았다

찰스 샌더스 퍼스가 발전시킨 존재 그래프에서는 종이에 놓인 표시와 그 표시를 둘러싼 경계가 논리적 역할을 합니다. 여기서는 그중 명제의 결합과 부정을 다루는 알파 그래프를 살펴봅니다. 대상의 존재와 관계를 표현하는 더 넓은 체계 전체를 이 몇 가지 그림으로 대신하지는 않습니다.[3]

P와 Q는 이번에도 완전한 문장을 줄여 쓴 글자입니다. 같은 면에 나란히 놓으면 “P이고 Q다”를 함께 주장합니다. P와 Q 전체를 하나의 닫힌 테두리로 둘러싸면 “P와 Q가 모두 참인 것은 아니다”가 됩니다. 이 테두리를 컷(cut)이라고 부르며, 감싼 내용 전체를 부정합니다.[2]

9회차의 원은 대상들의 범주를 구분했습니다. 이번 타원은 문장을 부정하는 범위를 정합니다. 원 안에 대상이 있는지, 어떤 범주가 비었는지를 표시하는 규칙을 그대로 가져오면 뜻이 달라집니다. 알파 그래프의 테두리는 서로 교차하지 않도록 놓으며, 포함 관계를 읽습니다.[3]

Q를 두 겹으로 감싸되 두 테두리 사이에 아무것도 두지 않으면 “Q가 아니라는 것은 아니다”입니다. 이중 부정이므로 Q와 같은 참·거짓 조건을 갖습니다. 그런데 두 테두리 사이에 P를 넣으면 이야기가 달라집니다. 안쪽부터 읽으면 “Q가 아니다”, 여기에 P를 함께 놓으면 “P이고 Q가 아니다”, 바깥 테두리가 이를 통째로 부정하면 “P이면서 Q가 아닌 것은 아니다”가 됩니다. 이것이 “P이면 Q”의 참·거짓 조건입니다.[2]

두 겹이 보인다는 이유만으로 언제나 두 테두리를 지울 수는 없습니다. ③에서는 사이가 비어 있지만, ④에서는 그곳에 P가 있습니다. ③의 전체 뜻은 Q, ④의 전체 뜻은 P이면 Q입니다. P와 Q가 모두 거짓인 경우를 대입해 보세요. ③은 거짓이지만 ④는 참입니다.

테두리 하나에 P와 Q를 함께 넣은 ②도 주의해서 읽어야 합니다. P가 참이고 Q가 거짓이어도 두 내용이 모두 참은 아니므로 이 그림은 참입니다. “P도 아니고 Q도 아니다”를 표현하려면 P와 Q 각각을 별도의 테두리로 감싸 같은 종이에 놓아야 합니다. 부정의 범위가 달라진 것입니다.

지우기에도 규칙이 있다

그림을 읽을 수 있다면, 이제 바꾸는 규칙이 필요합니다. 어떤 추론이 정당하다는 것은 전제가 참인 모든 경우에 결론도 참이라는 뜻입니다. 전제가 실제로 참인지 확인하는 일은 별도로 남습니다. 예쁜 모양이나 짧은 결과만으로 정당성을 판단할 수는 없습니다.

종이 위에 P와 Q가 함께 놓여 있다면 Q를 지우고 P만 남길 수 있습니다. 둘 다 참이면 P도 참이기 때문입니다. 그러나 한 테두리 안에 놓인 P와 Q에서 Q를 무조건 지우면 어떨까요? P는 참, Q는 거짓으로 놓을 때 “P와 Q가 모두 참인 것은 아니다”는 참이지만, 남은 “P가 아니다”는 거짓입니다. 한 가지 반례만으로도 이 지우기를 일반 규칙으로 삼을 수 없다는 사실이 드러납니다.

이 세 규칙은 퍼스의 1909년 원고 MS 514에 적힌 허용 규칙에서 이번 알파 그래프 연습에 필요한 부분을 추린 것입니다. 원고는 지우기와 넣기, 반복하기와 반복 지우기, 빈 고리 모양 영역의 제거와 생성을 설명합니다. 위 표는 그 전체를 옮긴 목록이 아니라, 아래 장치에서 사용할 세 동작의 안내입니다.[2]

지우기와 같은 추론은 정보가 줄어드는 방향으로도 정당할 수 있습니다. P와 Q를 함께 주장하는 그림에서 Q만 남기면, Q는 참이라고 말할 수 있지만 P에 관한 정보는 잃습니다. 반면 빈 두 겹 테두리를 벗기는 동작은 안쪽 내용의 참·거짓 조건을 그대로 유지합니다. “정당하게 따라온다”와 “완전히 같은 정보를 담는다”를 구별해 보세요.

P와 “P이면 Q”에서 Q만 남기기

프레게의 예에서 살펴본 추론을 이번에는 퍼스의 그래프로 해보겠습니다. 테두리 바깥의 종이 위에는 P가 있고, 옆에는 “P이면 Q”를 나타내는 두 겹의 테두리가 있습니다. 두 전제를 함께 놓은 출발 그림입니다. 목표는 규칙을 적용해 종이에 Q만 남기는 것입니다.

같은 P가 두 번 보입니다. 어느 쪽을 먼저 지우면 좋을까요? “안쪽 P 지우기”, “두 겹 테두리 벗기기”, “바깥 P 지우기” 중에서 골라 보세요. 규칙을 적용할 수 없으면 그 이유를 알려 주고, 필요한 전제를 잃었다면 한 단계 되돌릴 수 있습니다.

한 가지 길은 이렇습니다. 먼저 바깥 P를 남겨 두고 안쪽 P를 반복 지우기로 없앱니다. 두 테두리 사이가 비었으므로 두 겹을 함께 벗깁니다. 이제 종이에 P와 Q가 나란히 남습니다. 바깥 면의 P를 지우면 Q만 남습니다. 안쪽 P를 지운 다음에는, 바깥 P를 먼저 지우고 두 겹을 벗기는 순서도 가능합니다.

처음부터 바깥 P를 지우는 동작도 그 자체로는 정당합니다. 다만 P라는 전제가 사라져 조건문만 남으므로, 이후에는 Q를 얻을 근거가 부족합니다. 정당한 한 걸음이 언제나 목표에 유용한 한 걸음은 아니라는 점을 경험할 수 있습니다.

또한 출발 그림의 두 전제는 처음부터 Q를 보장합니다. 세 번의 동작이 새로운 사실을 만들어 낸 것은 아닙니다. 이미 전제에 의해 보장되는 결론을, 확인할 수 있는 변형 과정으로 드러낸 것입니다. 장치의 참·거짓 표를 펼치면 각 동작이 참인 그림을 거짓인 그림으로 바꾸지 않는지 네 경우를 비교할 수 있습니다.

장치가 “규칙을 적용할 수 없다”고 말하는 것과, 가능한 모든 증명 방법으로도 그 결론을 얻을 수 없다는 말은 다릅니다. 예컨대 처음부터 두 테두리를 없애는 동작은 “사이가 빈 두 겹” 규칙의 조건을 충족하지 않습니다. 먼저 필요한 정리를 한 뒤, 조건에 맞춰 그 규칙을 쓰는 과정을 연습하는 것입니다.

내 생각의 그림에도 검토할 길을 남기다

프레게의 선에서는 어느 내용이 조건이고 어느 내용이 그에 따라오는지 구별했습니다. 퍼스의 테두리에서는 무엇을 함께 주장하고 어디까지 부정하는지 구별했습니다. 두 표기법 모두 그림을 읽는 약속을 명확히 정합니다. 이번 알파 그래프에서는 거기에 변형의 규칙까지 더했습니다.

이 글의 몇 가지 예시는 두 사람의 논리 전체를 요약하지 않습니다. 프레게의 체계는 일반성을 표현하는 기호와 더 넓은 추론을 포함하며, 퍼스의 존재 그래프도 알파를 넘어 대상과 관계를 다룹니다. 오늘은 완전한 문장 P·Q의 조합에 집중해, 그림의 문법과 증명의 규칙이 만나는 지점을 살펴본 것입니다.[1][3]

첫째 질문의 답은 서로 다르다는 것입니다. 한 테두리는 “둘 다 참인 것은 아니다”이고, 별도의 두 테두리는 “P도 아니고 Q도 아니다”입니다. P가 참이고 Q가 거짓일 때를 넣으면 앞의 그림만 참이어서 차이를 확인할 수 있습니다.

둘째 질문에서는 원래의 두 전제가 참이라면 남은 조건문도 참입니다. 그래서 지우기 자체는 정당합니다. 그러나 남은 조건문은 P와 Q가 모두 거짓인 경우도 허용합니다. Q가 거짓인 가능성을 다시 열어 놓았으므로, 그 그림만으로 Q를 주장할 수는 없습니다.

셋째 질문에서는 조건문과 P라는 별도의 전제를 둘 다 표시했는지 확인합니다. 프레게의 조건문에는 Q를 위에, P를 아래에 놓고, P 자체의 판단도 별도로 적습니다. 퍼스의 그림에는 조건문 테두리 바깥에 P가 하나 더 있어야 합니다. 자신의 문장에 그 추가 전제가 정말 제시되어 있는지 돌아볼 수 있습니다.

생각그림연구소에서 나의 생각을 그림처럼 펼쳐 놓는다면, 각 표시가 무엇을 뜻하는지와 표시를 바꾼 이유를 함께 남겨 보면 어떨까요? 지운 전제, 새로 더한 근거, 부정한 범위를 추적하면 다른 사람도 내 생각이 결론에 이른 과정을 검토할 수 있습니다.

다만 실제 자료가 제출되었는지, 확인 메일이 발송되었는지는 논리 규칙만으로 확인되지 않습니다. 사실을 뒷받침하는 증거가 필요합니다. 다음 회차에서는 이 질문을 이어 받아, 여러 증거가 어떤 중간 판단을 거쳐 결론을 지지하는지 그리는 방법으로 나아가겠습니다.