빈 공간에도 정보가 있다

모든 자리를 마련하되, 무엇이 있는지는 열어 두다

존 벤은 1881년 『기호논리학(Symbolic Logic)』 제5장에서 도식으로 명제를 표현하는 방법을 설명했습니다. 서문에 따르면 이 장의 바탕이 된 내용은 1880년 7월 『철학 잡지(Philosophical Magazine)』에 먼저 실렸고, 책에서는 다시 쓰고 확장했습니다. 여기서는 토론토대학교 로바츠 도서관 소장본의 해당 장을 읽었습니다.[1]

벤이 마련하려 한 것은 여러 범주의 조합을 빠짐없이 담는 틀이었습니다. 두 범주 A와 B를 생각하면, A이면서 B인 경우, A이면서 B가 아닌 경우, B이면서 A가 아닌 경우, 둘 다 아닌 경우가 생깁니다. 두 원의 바깥도 이 네 번째 경우를 위한 자리입니다. 먼저 살펴볼 전체 대상을 정하고, 그 안에서 네 영역을 구분합니다.[1]

그 영역들을 그려 두었다고 네 종류의 대상이 모두 존재한다는 뜻이 생기지는 않습니다. 벤은 도식의 칸과 실제로 그 칸을 채울 대상을 구분했습니다. 칸은 미리 준비할 수 있지만, 어떤 칸이 비어 있는지는 주어진 정보로 판단해야 합니다.[1]

표의 한 행과 그림의 한 영역은 같은 구분을 나타냅니다. 이때 두 원을 겹쳐 그린 모습만으로 “어떤 A는 B다”를 읽으면 존재 정보를 보태게 됩니다. 벤의 기본 도식에서는 겹친 자리도 아직 채워졌는지 모르는 칸입니다.

빗금 하나가 문장의 조건이 된다

벤은 어떤 명제가 허용하지 않는 대상을 찾아 그 영역을 칠하는 방법을 제시합니다. “모든 A는 B다”라면 A이면서 B가 아닌 대상이 없어야 합니다. 두 원의 위치를 바꾸지 않고, A에서 B 바깥으로 나온 부분에 빗금을 넣습니다. 이 글의 빗금은 그 영역이 비어 있다는 표시입니다.[1]

반면 빗금이 없는 곳은 미정입니다. 대상이 있을 수도, 없을 수도 있습니다. 교과서의 어떤 그림에서는 색을 칠해 관심 영역을 강조하기도 하지만, 지금 사용하는 규칙에서 빗금은 “여기에 대상이 없다”는 뜻입니다. 그림을 읽기 전에 표시의 뜻을 확인해야 합니다.

여기에 “어떤 A도 B가 아니다”를 더해 보겠습니다. 이번에는 A와 B의 공통 영역도 비웁니다. A의 B 바깥과 A의 B 안을 모두 비웠으므로, A 전체가 비었다는 결론을 얻습니다. 두 문장은 A에 속하는 대상이 없을 때 함께 참일 수 있습니다.[2]

독서 모임의 예로 옮기면, 실제 참여자가 없는 상황에서는 “참여자는 모두 발표를 준비했다”와 “참여자 중 발표를 준비한 사람은 없다”가 함께 성립할 수 있습니다. 두 문장에 “참여자가 적어도 한 명 있다”는 정보를 추가하면 충돌합니다. 8회차에서 구분한 범위와 존재의 차이를 이번에는 빗금으로 기록한 셈입니다.

새 전제가 더해질 때마다 이미 그린 원을 옮길 필요가 줄어듭니다. 같은 틀 안에서 빈 영역을 더 표시하면 됩니다. 벤은 이러한 정보의 누적을 자신의 방법이 갖는 장점으로 설명했습니다.[1]

두 전제를 겹쳐 놓으면 결론이 보인다

A와 B에 C를 더하면 각 조합은 다시 C에 속하는 경우와 속하지 않는 경우로 나뉩니다. 두 범주의 네 영역이 세 범주의 여덟 영역으로 늘어납니다. 원 셋 모두의 바깥도 하나의 영역입니다. 벤은 이 구분이 문자로 쓴 조합의 표와 서로 대응한다고 설명했습니다.[1]

“모든 A는 B다. 어떤 B도 C가 아니다.” 이 두 전제로 “어떤 A도 C가 아니다”를 얻을 수 있을까요? 벤도 원전에서 이 형태의 삼단논법을 다룹니다. 아래에서는 문자를 A·B·C로 맞추고, 영역에 번호를 붙여 전제가 누적되는 과정을 나누어 그렸습니다.[1]

첫째 전제는 A이면서 B가 아닌 대상을 모두 배제합니다. C 밖에 있는 1번만 비우면 충분할까요? C 안에 있는 5번도 A이면서 B가 아닌 곳입니다. C에 속하는지와 관계없이 두 영역을 함께 비워야 합니다.

둘째 전제는 B와 C에 함께 속하는 대상을 배제합니다. A 밖의 6번과 A 안의 7번을 모두 비웁니다. 이제 A와 C의 공통 영역을 보세요. 그 영역은 5번과 7번으로 이루어져 있고, 두 곳이 모두 비었습니다. 따라서 어떤 A도 C가 아니라는 결론이 따라옵니다.

이 추론에서는 두 전제가 서로 다른 곳을 비우지만, 결론에 필요한 영역은 그 결과 모두 비게 됩니다. “어떤 A도 C가 아니다”를 미리 가정해 칠한 것이 아니라, 두 전제를 각각 표시한 뒤 그 결론을 읽었습니다. 추론을 검토할 때는 이 순서를 구분해야 합니다.

또한 남은 흰 영역에 대상이 반드시 있다고 읽지 않습니다. 예를 들어 3번이 남아 있어도, 이 두 전제만으로 “어떤 A는 B다”를 얻지는 못합니다. 대상의 존재를 알려 주는 정보가 별도로 필요합니다.

×를 어디에 놓아야 할지 아직 모를 때

빗금이 “없음”을 기록한다면, “있음”은 어떻게 기록할까요? 오늘의 학습에서는 존재 표시를 함께 쓰겠습니다. 여기서 × 하나는 그 조건에 맞는 대상이 적어도 하나 있다는 뜻입니다. 전체 대상이 꼭 하나뿐이라는 뜻은 아닙니다.

역사적인 층위는 구분해야 합니다. 벤의 기본 도식과 빗금만으로 오늘날 사용하는 모든 존재 표시가 갖추어진 것은 아닙니다. 퍼스는 벤의 도식을 확장하면서 존재와 선택 가능한 정보를 표현하는 기호를 더했습니다. 아래 ×와 후보 위치의 연결선은 그 이후의 확장을 염두에 둔 현대적 학습 표시이며, 벤의 1881년 도판을 그대로 옮긴 것이 아닙니다.[2]

“어떤 A는 B다”만 주어졌다면 그 대상은 A와 B의 공통 영역에 있습니다. 그러나 C에도 속하는지는 모릅니다. 도해의 3번과 7번 중 어느 쪽인지 아직 정하지 않은 상태입니다. 한쪽에 ×를 고정하면 C에 속하는지에 관한 정보를 임의로 더할 수 있습니다.

이 글에서는 두 후보를 점선으로 묶고 그 사이의 C 경계에 × 하나를 놓습니다. 한 대상이 들어갈 수 있는 두 후보 위치를 표시한 것입니다. 실제로 원의 선 위에 별도의 대상이 산다는 뜻으로 읽지 않습니다.

이제 “모든 B는 C다”를 더합니다. B이면서 C가 아닌 2번과 3번을 비워야 합니다. 앞서 존재한다고 표시한 대상은 3번에 있을 수 없으므로 7번에 있습니다. 같은 대상이 A이면서 C라는 사실이 확인되어 “어떤 A는 C다”가 따라옵니다.

이때 “모든 A는 C다”까지 얻지는 못합니다. 1번처럼 A에 속하면서 C에는 속하지 않는 영역은 아직 열려 있습니다. 그곳에 다른 대상이 있을 가능성을 두 전제가 막아 주지 않기 때문입니다.

두 후보 영역을 모두 비워 놓고 같은 존재 표시를 유지하면 정보가 충돌합니다. 있다는 대상이 들어갈 자리를 모두 없앴기 때문입니다. 이때 존재 표시를 조용히 지우면 주어진 전제를 잃게 됩니다. 아래 장치는 그 충돌을 따로 알려 줍니다.

내가 칠한 영역이 문장과 정확히 맞을까?

이제 같은 도식으로 두 가지 탐색을 해보겠습니다. A는 독서 모임 참여자, B는 발표를 준비한 사람, C는 자료를 제출한 사람으로 읽습니다. 그림의 숫자와 아래 영역 버튼은 같은 곳을 가리킵니다. 빗금을 넣거나 지우면서 문장이 요구한 정보만 표시해 보세요.

첫 탐색에서는 두 전제가 비우는 영역을 차례로 칠합니다. 둘째 탐색에서는 “어떤 A는 B다”의 존재 표시를 먼저 놓아 보세요. 아직 남아 있는 두 후보 중 한 곳을 “모든 B는 C다”의 조건이 배제하는 과정을 볼 수 있습니다. “내 표시 확인”으로 빠뜨린 영역과 전제에 없는 표시를 비교할 수 있습니다.

“전제대로 표시하기”를 눌러 완성된 결과를 본 뒤, 빗금 하나를 지워 보세요. 두 전제 중 어떤 정보가 빠지는지 말로 설명해 보시기 바랍니다. 반대로 전제가 요구하지 않은 곳에 빗금을 더하면, 원래 문제보다 강한 조건을 가정하게 됩니다.

두 번째 탐색에서는 3번과 7번이 모두 비도록 바꾸고 존재 표시를 유지해 보세요. 장치가 충돌을 알려 주는 이유를 설명해 보세요. 존재 표시를 끄는 것은 “그런 대상이 없다”는 정보를 추가하는 것이 아니라, 있다는 정보를 지우는 동작입니다.

이 장치에서는 살펴보는 전체 대상은 적어도 하나 있다고 두되, A·B·C 각각은 비어 있을 수 있습니다. 원이나 영역의 넓이에서 사람 수를 읽지 않습니다. 이런 약속을 먼저 정해야 같은 그림을 같은 뜻으로 읽을 수 있습니다.

그림을 완성한 다음, 이유를 설명하다

범주가 늘어날수록 조합도 늘어납니다. 두 범주는 네 경우, 세 범주는 여덟 경우, 네 범주는 열여섯 경우를 구분해야 합니다. 벤은 네 범주부터 원을 그대로 더하는 방법이 충분하지 않다고 설명하고, 네 타원이 교차하는 도식을 제시했습니다. 그림의 목적에 맞춰 모양을 바꿀 수 있다는 뜻입니다.[1]

그렇다고 더 많은 영역을 한 장에 담을수록 읽기가 쉬워지는 것은 아닙니다. 벤 역시 도식이 복잡해질 때 눈으로 구분하는 이점이 줄어든다는 점을 함께 다뤘습니다. 관계를 빠짐없이 기록하는 일과 사람이 쉽게 읽도록 만드는 일은 함께 검토해야 합니다.[1]

원전에는 흥미로운 조작 아이디어도 있습니다. 벤은 도식을 종이에 그려 얇은 판에 붙이고 영역을 조각으로 나눈 뒤, 전제가 배제하는 조각을 빼내는 방법을 설명합니다. 오늘의 화면에서 빗금을 더하는 동작은 그 발상을 비교해 볼 수 있는 방법입니다. 이 장치는 당시 물리 장치의 복제품이 아니라, 같은 배제 원리를 탐색하는 구성입니다.[1]

첫째 질문에서는 5번도 칠해야 합니다. 1번과 5번은 모두 A이면서 B가 아닌 곳이고, 두 곳의 차이는 C에 속하는지뿐입니다. 주어진 문장에는 C로 예외를 두는 조건이 없습니다.

둘째 질문에서는 7번의 존재 표시가 “어떤 A는 C다”를 보장합니다. 여기에 1번의 다른 대상을 더한 경우를 생각해 보세요. 그 대상은 B에 속하지 않으므로 “모든 B는 C다”를 어기지 않습니다. 두 전제는 유지되지만 모든 A가 C라는 결론은 거짓이 됩니다.

셋째 질문에서는 A·B·C에 속함과 속하지 않음의 조합을 한 행씩 적습니다. “모든 B는 C다”라면 B에 속하고 C에는 속하지 않는 두 행, 즉 2번과 3번의 조합에 대상 수 0을 기록합니다. “어떤 A는 B다”는 3번과 7번의 조합을 합친 곳에 대상이 적어도 하나 있다는 뜻입니다. 각 행에 하나씩 있다고 나누어 기록하면 원래 정보보다 강해집니다.

벤은 명제를 명확하게 해석하고, 계산에 맞게 바꾸고, 결합한 결과를 다시 읽는 과정에 각각 판단이 필요하다고 설명했습니다. 표시를 자동으로 완성하는 기능을 사용하더라도, 왜 그 영역을 비웠는지와 그 결과 무엇을 알게 되었는지를 자신의 문장으로 설명하는 과정은 남습니다.[1]

생각그림연구소의 작업에도 이 구분을 적용해 볼 수 있습니다. 아직 조사하지 않은 곳, 없다고 확인한 곳, 있다는 근거가 있는 곳을 서로 다른 표시로 남겨 보세요. 새로운 근거가 들어왔을 때 어느 표시가 달라지는지 추적하면, 그림은 생각이 정리되어 가는 과정을 보여 줍니다.