반달의 각도 하나로 태양까지의 거리를 잴 수 있을까?

태양중심설과 거리 계산은 같은 자료가 아니다

아리스타르코스는 대략 기원전 310년에서 230년 사이에 활동한 그리스 수학자·천문학자로 알려져 있습니다. 세인트앤드루스대학교 MacTutor는 그가 태양을 중심에 둔 체계를 제안한 인물로 전해지지만, 그 내용을 직접 담은 저술은 남아 있지 않고 아르키메데스와 플루타르코스의 언급을 통해 알려진다고 설명합니다.[2]

반면 『태양과 달의 크기와 거리』는 현존하는 유일한 저술로 소개됩니다. 이 책은 태양중심설을 전개하는 문헌이 아니라, 관측 조건과 기하 명제를 결합해 천체의 상대적 크기와 거리를 묶는 논증입니다. 두 업적을 한 문장으로 섞으면 남은 증거의 종류가 흐려집니다.[2][1]

따라서 이번 글의 질문은 ‘아리스타르코스가 우주의 중심을 무엇으로 보았는가’가 아닙니다. 반달이라는 관찰에서 직각을 꺼내고, 지구에서 본 각도를 거리비로 바꾸는 추론이 어떤 전제를 쓰며 어디에서 오차에 민감해지는지를 읽습니다.

우리가 보는 도형은 고대 저자의 종이가 아니라 전승의 결과다

미국 의회도서관의 ‘Rome Reborn’ 전시는 바티칸도서관의 10세기 그리스어 양피지 천문·수학 합본을 소개합니다. 이 합본에는 아우톨리코스, 유클리드, 아리스타르코스 등 여러 저자의 글이 모였고, 전시는 『태양과 달의 거리와 크기』의 명제 13과 많은 주석이 붙은 면을 설명합니다.[1]

이 사본은 아리스타르코스가 활동한 때보다 천 년 이상 뒤의 물건입니다. 오래된 문헌이 남았다는 사실은 중요하지만, 보존된 도형의 선 모양과 주석 전체가 저자 자신의 필기라고 말할 수는 없습니다. 원문, 후대 필사, 주석, 현대 기호를 구별해야 합니다.

MacTutor는 토머스 히스가 1913년에 이 저술의 번역과 그리스 천문학 해설을 출판했다고 기록합니다. 오늘 우리가 87°, 코사인, 소수점으로 설명하는 방식은 독자의 검산을 위한 번역입니다. 고대 본문이 현대 삼각함수 표기를 사용했다는 뜻은 아닙니다.[3][2]

달이 반만 밝을 때 달의 꼭짓점은 90°가 된다

달은 스스로 빛나는 원반이 아니라 태양빛을 반사해 보입니다. 달이 정확히 반만 밝아 보이는 순간에는 태양빛의 방향과 지구를 향한 시선이 달에서 직각을 이룹니다. NASA 고더드 우주비행센터의 교육 자료도 지구-달-태양 각이 그때 정확히 90°가 된다고 설명합니다.[4]

지구를 E, 달을 M, 태양을 S라 하면 삼각형 EMS에서 ∠EMS=90°입니다. 지구에서 달과 태양 사이 각 ∠MES를 재면 삼각형의 모양이 정해집니다. 아리스타르코스가 사용한 값은 오늘의 표기로 87°이며, 남은 ∠ESM은 3°입니다.[2][4]

그림 2의 삼각형은 매우 가느다란 실제 비율을 읽기 좋게 확대해 그린 관계도입니다. 중요한 것은 천체의 그림 크기가 아니라 어느 꼭짓점의 각인지입니다. 90°는 달의 위상 조건에서, 87°는 지구에서의 관측에서 옵니다.

질문 1. ‘반달이므로 지구에서 본 각이 90°다’라고 쓰면 무엇이 잘못일까요? 해설: 90°는 달 M에서 지구와 태양을 이은 각입니다. 지구 E에서 보는 달-태양 사이 각은 90°보다 조금 작습니다. 꼭짓점을 바꾸면 거리비 계산도 달라집니다.

87°는 태양이 달보다 약 19배 멀다는 결론을 만든다

현대 삼각함수로는 직각삼각형에서 cos(∠E)=EM/ES입니다. 지구-달 거리를 1로 두면 지구-태양 거리비는 ES/EM=1/cos(87°)≈19.1입니다. NASA 자료는 같은 관계를 3°의 작은 각과 원호 근사로 설명해 약 19배를 얻습니다.[4][6]

아리스타르코스는 코사인 표를 사용하지 않았습니다. MacTutor는 그가 오늘의 표기로 1/18>sin(3°)>1/20에 해당하는 부등식을 얻어 태양이 달보다 18배보다 멀고 20배보다 가깝다고 결론 내렸다고 설명합니다. 하나의 소수값이 아니라 상한과 하한을 제시했다는 점이 중요합니다.[2]

이 논증은 절대 거리 킬로미터를 주지 않습니다. 먼저 지구-달 거리를 한 단위로 놓고 두 거리의 비를 구합니다. 비례 추론과 실제 단위 측정은 다른 단계입니다.

질문 2. 18~20배라는 범위가 ‘부정확해서 아무 의미가 없다’고 할 수 있을까요? 해설: 아닙니다. 주어진 87°를 전제로 한 기하 계산은 일관되고 태양이 달보다 훨씬 멀다는 하한을 줍니다. 다만 실제 거리비를 정확히 추정하려면 관측각 자체가 더 정확해야 합니다.

90°에 가까워질수록 0.5°가 거리비를 두 배로 바꾼다

각도가 87°에서 88°로 1° 커지면 거리비는 약 19.1에서 28.7로 늘어납니다. 89°에서는 57.3, 89.5°에서는 114.6입니다. 90°에 가까워질수록 코사인 값이 0에 가까워져 그 역수는 급격히 커집니다.

MacTutor는 실제 반달 순간의 각을 약 89°50′, 즉 약 89.83°로 설명하며 태양이 달보다 약 400배 멀다고 정리합니다. NASA의 현재 평균거리 150,196,428km와 384,400km를 나누면 약 390.7배입니다. 평균거리와 순간 궤도 위치가 다르므로 하나의 고정 정답처럼 섞지 않고 규모 비교에만 사용합니다.[2][5]

핵심은 ‘87°가 3° 틀렸다’는 단순한 비난이 아닙니다. 정확한 반달 순간을 판별하는 일과 거의 직각인 두 방향의 차이를 맨눈으로 재는 일이 함께 어렵습니다. 입력 오차가 결론에 증폭되는 문제에서는 계산 전 민감도 검사가 필요합니다.

같은 증명에 다른 관측값을 넣어 결론의 안정성을 검사한다

활동 1. 관측각을 88°라고 가정하세요. 거리비는 1/cos88°≈28.65입니다. 87°에서 1°만 바뀌었지만 19.1보다 약 50% 커집니다. 계산이 맞는지뿐 아니라 입력의 허용 오차가 결과 범위를 얼마나 넓히는지 써 보세요.

활동 2. 측정값을 89.0°±0.5°라고 보고 최소·최대 거리비를 계산하세요. 88.5°에서는 약 38.2, 89.5°에서는 약 114.6입니다. 각도 범위가 1°뿐이어도 거리비 범위는 약 세 배가 됩니다.

질문 3. ‘각도 측정이 어렵기 때문에 기하 논증도 틀렸다’는 반론은 타당할까요? 해설: 관측값의 신뢰성과 조건에서 결론으로 가는 추론의 타당성은 따로 평가해야 합니다. 직각 조건과 거리비 관계는 유지되지만, 정확한 수치 결론의 신뢰도는 측정 오차에 달려 있습니다.

좋은 논증은 틀린 입력을 숨기지 않고 어디서 다시 재야 하는지 보여 준다

그림 4에서 관찰, 전제, 계산, 결론을 나누면 수정 지점이 분명해집니다. 반달이면 달의 각이 90°라는 전제와 거리비 공식은 유지됩니다. 바꾸어야 하는 것은 지구에서 본 각 87°의 정밀도입니다.

MacTutor는 이 연구를 실제 천문 측정이라기보다 측정이 가능함을 보이는 수학적 이론으로 해석하는 견해도 소개합니다. 사본과 후대 연구만으로 저자의 의도를 하나로 확정하기보다, 관측을 이용한 기하적 방법이 제시되었다는 확인 범위에 머뭅니다.[2]

또한 현존 『크기와 거리』는 태양중심설 저술 그 자체가 아닙니다. 태양이 지구보다 훨씬 크다는 결론이 태양중심 구상에 영향을 주었을 가능성은 논의할 수 있지만, 이 문헌 하나가 그 역사적 인과를 직접 증명한다고 말해서는 안 됩니다.[2]