프레게의 체계에 닿은 충격의 전제와 귀결을 기호·집합 관계로 정리했다.

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생각그림 11 · 프레게의 체계에 닿은 충격의 전제와 귀결을 기호·집합 관계로 정리했다.

프레게는 논리를 바탕으로 산술을 세우려 했고, 그의 체계에서는 개념의 외연을 대상으로 다루는 원리가 중요한 역할을 했다. 러셀의 편지는 그 원리들과 함께 역설이 도출됨을 알렸다. 프레게는 『산술의 기본 법칙』 제2권 인쇄가 거의 끝난 때 문제를 받고 부록에서 위기를 인정했다. 다만 러셀의 역설 하나가 모든 논리나 모든 수학을 무효로 만든 것은 아니다. 어떤 집합·외연의 존재를 허용할지 더 엄격히 정해야 한다는 과제가 드러났다.