논리학 기초

수학 전체를 논리에서 다시 세울 수 있을까?

논리주의는 산술과 수학을 논리적 진리와 정의로 환원하려 했고, 신논리주의는 추상화 원리로 그 계획을 더 제한된 형태에서 되살립니다.

논리 어휘와 추론 규칙에서 추상화 원리를 거쳐 자연수와 산술 정리로 올라가는 세 층과 각 층 사이의 검토 질문을 보여 주는 도식.
LTCT 자체 제작 개념도. SEP의 논리주의와 신논리주의 구분을 교육용 층 구조로 재구성했다.
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그림에서 무엇을 볼까요?

논리 어휘와 추론 규칙에서 추상화 원리를 거쳐 자연수와 산술 정리로 올라가는 세 층과 각 층 사이의 검토 질문을 보여 주는 도식.

LTCT가 만든 예시입니다. A반 학생과 B반 학생을 한 명씩 짝지어 아무도 남지 않으면 두 반의 학생 수가 같다고 말합니다. 실제 이름이나 책상 위치를 몰라도 일대일 대응만으로 수의 동일성을 판단합니다.

이 예시는 Hume의 원리가 왜 매력적인지 보여 주지만, ‘수라는 객체가 존재한다’는 추상화 원리를 논리 자체로 봐도 되는지는 별도 철학 문제입니다.

함께 확인할 점

이 글은 논리주의 전체의 역사와 철학을 압축한 해설이며 특정 입장의 최종 승리를 보고하지 않습니다.

Frege 정리는 채택한 2차 논리와 추상화 원리에 상대적이며, 그 원리의 인식론적 정당성은 별개 쟁점입니다.

생각해 볼 질문

일대일 대응으로 같은 수를 판정할 수 있다면 수가 곧 논리라고 결론내릴 수 있을까요?

함께 볼 그림

회원 여부와 대출 여부의 네 조합 중 규칙을 어기는 한 경우를 구분한 그림조건을 뒤집으면 결론도 따라올까?직원 카드 P와 문 열림 Q를 이용해 원래 조건문 P에서 Q, 역 Q에서 P, 대우 Q 아님에서 P 아님을 서로 다른 세 줄에 놓은 그림조건문의 대우는 왜 같고, 역은 왜 다를까?세 유물을 나누어 검사한 기록과 한 검사자가 세 유물을 모두 검사한 기록을 비교하는 두 행렬모두의 담당자와 모두를 맡은 한 사람은 같을까?
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