밭을 잘라 옮기면 공식의 이유가 보인다

그림에서 무엇을 볼까요?

밑변 12, 높이 21인 이등변삼각형을 높이 10.5에서 자른다. 위쪽 삼각형을 다시 둘로 나누어 각각 반 바퀴 돌리면 아래쪽 사다리꼴의 양옆을 채운다. 같은 세 조각으로 밑변 12, 높이 10.5인 직사각형이 되며 넓이는 126이다.

『구장산술』은 토지 측량과 곡식, 분배 등 생활의 문제를 다루는 수학서입니다. 3세기의 수학자 유휘는 이 책에 풀이의 이유를 설명하는 주석을 붙였습니다. 제1장 「방전」에는 밑변이 12보, 높이가 21보인 삼각형 밭의 넓이를 묻는 문제가 나옵니다. 답은 126입니다. 여기서는 길이의 ‘보’와 구분하여 넓이를 126제곱보라고 쓰겠습니다.

주석에 등장하는 이영보허(以盈補虛)는 남는 부분으로 빈 곳을 채운다는 뜻입니다. 삼각형의 넓이 계산을 이런 옮김으로 설명해 보겠습니다. 아래에서는 높이의 절반에서 삼각형을 가르고, 위쪽의 작은 삼각형을 다시 둘로 나눕니다. 두 조각을 각각 반 바퀴 돌려 아래쪽 양옆의 빈 곳에 놓으면 직사각형이 됩니다.