교점은 두 조건이 동시에 참인 자리다

그림에서 무엇을 볼까요?

같은 크기의 원에 대해 y=4에서는 두 교점, y=5에서는 하나의 접점, y=6에서는 교점 없음. 각각 x²=9, x²=0, x²=−11과 대응한다.

원과 직선의 교점은 원 위에 있으면서 직선 위에도 있는 점입니다. 따라서 그 점의 좌표는 x² + y² = 25와 y = k를 동시에 만족해야 합니다. 두 번째 식의 y를 첫 번째 식에 넣으면 x² + k² = 25, 곧 x² = 25 − k²가 됩니다.

높이가 4이면 x² = 9입니다. 제곱해서 9가 되는 실수는 −3과 3이므로 교점은 (−3, 4), (3, 4) 두 개입니다. 높이가 5이면 x² = 0이므로 (0, 5) 한 점에서 접합니다. 높이가 6이면 x² = −11입니다. 실수의 제곱은 음수가 될 수 없으므로 두 조건을 함께 만족하는 점이 없습니다.