도형과 식이 만나는 순간

좌표 눈금보다 먼저, 길이 하나를 고르다

르네 데카르트는 1637년 『방법서설』과 함께 『기하학』을 발표했습니다. 이 책이 다루는 중심 문제는 도형의 관계를 계산으로 풀어내는 방법입니다. 오늘날 해석기하학이라고 부르는 분야의 중요한 출발점 가운데 하나이지요. 해석기하학은 좌표와 방정식을 사용해 도형의 성질을 연구하는 수학입니다.[2]

『기하학』 첫머리를 펼치면, 데카르트는 길이 하나를 골라 단위로 삼습니다. 다른 길이들을 그 단위와 비교하면 수로 나타낼 수 있고, 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈도 선분 사이의 관계로 다룰 수 있습니다. 길이와 수를 연결할 기준을 먼저 세우는 것입니다.[1]

이때 ‘길이 3’은 기준으로 정한 길이의 세 배라는 뜻입니다. 같은 선분도 단위를 어떻게 고르느냐에 따라 수가 달라집니다. 그림에 숫자를 붙이기 전에 무엇을 1로 정했는지 확인해야 하는 이유입니다.

아래 도해에서는 원전의 점 이름을 따라 AB를 단위 길이 1로 두고, BC는 2, BD는 3으로 정했습니다. A와 C를 이은 뒤 D에서 AC와 평행한 선을 그어, BC를 연장한 선과 만나는 점을 E라고 부릅니다. 원전에서 BE는 곱셈의 결과를 나타내는 길이입니다.[1]

삼각형 BAC와 BDE는 각이 같고 크기만 다른 닮은 도형입니다. 밑변이 BA에서 BD로 세 배가 되었으므로, 그에 대응하는 변 BC도 BE가 되면서 세 배가 됩니다. 따라서 BE는 2 × 3 = 6입니다. 비율로 적으면 BE ÷ BC = BD ÷ BA, 곧 BE ÷ 2 = 3 ÷ 1입니다.

여기서 2와 3을 곱한 결과 6은 선택한 단위로 잰 선분의 길이입니다. 가로 2, 세로 3인 직사각형의 넓이를 구하는 경우에는 같은 수 6에 넓이 단위가 붙습니다. 어떤 대상을 계산하는지, 단위를 어떻게 정했는지를 함께 읽어야 합니다.

아직 모르는 길이에도 이름을 붙이다

데카르트는 문제를 풀 때, 우선 구하려는 것이 이미 마련되어 있다고 생각하고 필요한 선분에 이름을 붙이라고 설명합니다. 알려진 길이와 아직 모르는 길이를 함께 놓은 다음, 서로 어떻게 의존하는지 살펴보는 것입니다. 같은 양을 두 방식으로 나타낼 수 있으면 그 둘을 등호로 연결합니다. 이것이 방정식을 세우는 과정입니다.[1]

이 태도는 ‘답을 모르면 아무것도 그릴 수 없다’는 막막함을 풀어줍니다. 모르는 길이를 x라고 불러 두면, x가 다른 길이와 어떤 관계를 가져야 하는지부터 생각할 수 있습니다. 그림에는 아직 모르는 값의 자리를 마련하고, 식에는 그 값이 지켜야 할 조건을 남깁니다.

이제 현대적인 좌표 그림으로 옮겨 보겠습니다. 원점을 (0, 0)으로 정하고, 가로 위치를 x, 세로 위치를 y라고 부릅니다. 오른쪽과 위쪽은 양수, 왼쪽과 아래쪽은 음수입니다. P(3, 4)는 원점에서 오른쪽으로 세 칸, 위로 네 칸에 놓인 점을 뜻합니다.

원점에서 P까지의 거리를 5로 유지한다고 해 봅시다. 가로·세로의 한 칸 길이가 같고 두 축이 직각이면, 피타고라스 정리에 따라 x² + y² = 25가 됩니다. x²는 x를 자기 자신과 곱한다는 뜻입니다. 이 조건을 만족하는 모든 점을 모으면 원점이 중심이고 반지름이 5인 원의 둘레가 됩니다.

여기서 좌표는 점의 위치를, 방정식은 점이 지켜야 할 관계를 표현합니다. (3, 4)와 (4, 3)은 서로 다른 위치이지만 3² + 4²와 4² + 3²가 모두 25이므로 같은 원 위에 놓입니다. 위치가 바뀌어도 유지되는 조건이 있는 것입니다.

위 설명은 오늘날의 직교좌표로 구성했습니다. 『기하학』에서 데카르트가 사용하는 두 길이는 문제의 선과 각도에 맞추어 정해지며, 반드시 수직인 두 축을 전제하지는 않습니다. 현대의 좌표 격자와 음수 좌표를 원전의 그림 그대로라고 읽지 않도록 구분해 둡니다.[2]

점의 위치를 바꾸면 무엇이 달라질까?

첫 실험은 (3, 4)에서 시작합니다. 점 P를 끌거나 가로·세로 조절 막대를 움직여 보세요. 현재 좌표와 x² + y²의 값이 함께 바뀝니다. 합이 25이면 원 위, 25보다 작으면 원 안쪽, 크면 원 바깥쪽입니다.

먼저 (4, 3)을 만들어 보세요. 점의 위치는 달라지지만 원의 조건은 그대로 만족합니다. 이번에는 (3, 3)으로 옮겨 보세요. 합이 18로 줄고 점은 원 안쪽에 놓입니다. 그림의 이동과 식의 변화가 서로 대응하는지 확인해 봅니다.

다음으로 ‘② 교점 찾기’를 선택하면 수평선을 위아래로 움직일 수 있습니다. 원은 그대로 두고, 직선의 높이 k만 바꾸는 실험입니다. k는 이번 실험에서 우리가 정하는 높이의 이름이며, 직선 위에서는 항상 y = k가 성립합니다.

높이 4, 높이 5, 높이 6을 차례로 비교해 보세요. 두 교점이 서로 가까워지다가 하나가 되고, 그다음에는 사라집니다. 이어 높이를 음수로 바꾸어 −4, −5, −6도 확인해 보세요. 위아래로 대칭인 곳에서 같은 변화가 일어나는 이유를 식으로 설명할 수 있을까요?

‘점 움직이기’는 위치를 읽기 쉽도록 정수 격자에 맞추고, ‘교점 찾기’는 높이를 0.1씩 조절하도록 구성했습니다. 교점은 정수 좌표 사이에도 생깁니다. 예를 들어 높이가 2라면 가로 좌표는 ±√21입니다. ±는 양수와 음수를 각각 택한다는 뜻이고, √21은 제곱하면 21이 되는 양수입니다.

교점은 두 조건이 동시에 참인 자리다

원과 직선의 교점은 원 위에 있으면서 직선 위에도 있는 점입니다. 따라서 그 점의 좌표는 x² + y² = 25와 y = k를 동시에 만족해야 합니다. 두 번째 식의 y를 첫 번째 식에 넣으면 x² + k² = 25, 곧 x² = 25 − k²가 됩니다.

높이가 4이면 x² = 9입니다. 제곱해서 9가 되는 실수는 −3과 3이므로 교점은 (−3, 4), (3, 4) 두 개입니다. 높이가 5이면 x² = 0이므로 (0, 5) 한 점에서 접합니다. 높이가 6이면 x² = −11입니다. 실수의 제곱은 음수가 될 수 없으므로 두 조건을 함께 만족하는 점이 없습니다.

세 장면을 하나의 규칙으로 묶을 수도 있습니다. 높이의 절댓값이 5보다 작으면 두 점, 5와 같으면 한 점, 5보다 크면 만나지 않습니다. 절댓값은 0에서 얼마나 떨어졌는지를 나타내므로 높이 4와 −4는 절댓값이 같습니다. 원이 가로축 위아래로 대칭이라는 사실과 k²가 부호를 지운다는 사실이 같은 관계를 설명합니다.

『기하학』 제1권에도 원과 직선을 이용해 이차방정식의 해를 작도하는 대목이 있습니다. 원이 직선과 만나거나 접하는지에 따라 구하려는 길이의 존재를 판단합니다. 여기의 반지름 5인 좌표 실험은 그 원전의 작도를 복제한 것이 아니라, 교점과 방정식의 해가 연결되는 원리를 쉽게 살펴보도록 새로 구성한 예입니다.[1]

그림에서는 두 선이 만나는 곳을 찾았고, 식에서는 두 조건을 동시에 만족하는 값을 찾았습니다. 표현이 바뀌어도 찾고 있는 대상은 같습니다. 바로 이 대응을 확인하는 일이 이번 글의 시각적 추론입니다.

그림을 바꾸어도 남는 것을 읽다

화면을 가로로 길게 늘여 원이 타원처럼 보이게 만들었다고 가정해 봅시다. 점과 직선도 똑같이 가로로 늘였다면, 원래의 교점은 늘어난 그림에서도 교점으로 남습니다. 두 점·한 점·없음이라는 관계도 유지됩니다. 화면에서 재는 각도와 가로·세로 길이의 비는 달라질 수 있습니다.

따라서 눈금 한 칸이 가로와 세로에서 같은 길이인지 살펴야 합니다. 이 글의 조작 장치는 두 축을 같은 축척으로 표시합니다. 다른 도표를 읽을 때도 교점·순서·비율·각도 가운데 무엇이 표현 방식에 따라 유지되고 무엇이 달라지는지 따져 보세요.

원 위의 점 몇 개를 직접 확인했다고 원 전체에 관한 설명이 끝나는 것은 아닙니다. 실험은 어떤 관계가 성립할지 예상하게 해 줍니다. 그 관계가 모든 해당 점에 적용되는 이유는 정의와 식에서 확인합니다. 반지름 5인 원의 경우, 원점에서의 거리 조건과 x² + y² = 25가 연결된다는 설명이 그 역할을 합니다.

이 역사를 읽을 때도 여러 사람의 작업을 함께 놓을 필요가 있습니다. 같은 시기 페르마는 평면과 입체의 자취에 관한 연구에서 기하학을 대수적으로 다루었고, 관련 글을 수학자들에게 보냈습니다. 데카르트의 책은 이런 17세기의 연구 흐름 속에서 읽을 수 있습니다.[3]

생각그림연구소의 작업으로 옮기면, 그림과 글 사이에서도 같은 질문을 던질 수 있습니다. 화살표 하나를 문장으로 풀었을 때 원래의 조건이 살아 있는가? 문장을 도표로 옮기면서 예외나 범위를 빠뜨리지는 않았는가? 도형과 식의 대응을 읽는 연습은 서로 다른 표현이 같은 생각을 담고 있는지 검토하는 연습으로 이어집니다.

그림과 식을 오가는 세 가지 연습

아래 질문은 먼저 예상한 다음 조작 장치와 식으로 확인해 보세요. 답이 맞았는지와 함께, 어느 조건을 사용해 판단했는지도 한 문장으로 적어 봅니다.

첫 번째 답은 원 위입니다. (−3)² + 4² = 9 + 16 = 25이기 때문입니다. 제곱하기 전 좌표 −3은 왼쪽 위치를 나타내고, 제곱한 값 9는 양수입니다. (3, 4)와 (−3, 4)는 서로 다른 점이지만 같은 원 위에 있습니다.

두 번째에서는 거리가 줄어들어 0이 됩니다. 높이 4에서 교점의 가로 좌표는 −3과 3이므로 거리는 6입니다. 높이가 5에 가까워질수록 25 − k²가 작아져 두 가로 좌표가 0에 가까워집니다. 높이 5에서 한 점으로 만나고, 그보다 높으면 실수 좌표의 교점이 없습니다.

세 번째에서는 새 가로 좌표 u를 이전 y로, 새 세로 좌표 v를 이전 x로 정합니다. 그러면 이전의 y = 4는 새 그림의 u = 4, 곧 세로선이 됩니다. 원의 식은 여전히 u² + v² = 25이며 교점은 (4, −3), (4, 3) 두 개입니다. 좌표의 이름과 방향은 바뀌었지만 동시에 만족해야 할 관계는 유지됩니다.

도해 1도 한 번 더 읽어 보세요. AB = 1과 BC = 2를 유지하면서 BD를 3에서 4로 바꾸면 BE는 8이 됩니다. 이때에도 AC와 DE의 평행 조건을 지켜야 합니다. 숫자만 바꾸는 것과, 그 숫자가 표현하던 관계를 유지하며 그림을 바꾸는 것을 함께 확인하는 연습입니다.