길이를 두 배로 키우면 넓이도 두 배만 늘어날까?

닮은 도형은 대응하는 길이의 비율이 같습니다

OpenStax는 확대·축소된 닮은 도형에서 대응하는 변의 길이가 같은 비율을 이룬다고 설명합니다. 가로만 늘이고 세로는 그대로 둔 그림은 이 규칙의 확대가 아닙니다.

길이 배율 k는 가로와 세로에 각각 적용됩니다. 같은 배율이 두 방향에 반복된다는 점이 넓이 변화의 열쇠입니다.

참고 · OpenStax · Elementary Algebra 2e — 닮은 도형과 축척 ↗

넓이에는 배율이 두 번 곱해집니다

가로 3칸, 세로 2칸의 넓이는 6칸²입니다. 모든 길이를 두 배로 하면 6칸×4칸이 되어 넓이는 24칸²입니다.

길이는 2배지만 넓이는 2×2=4배입니다. 배율이 3이면 넓이는 9배, 배율이 0.5면 넓이는 0.25배입니다.

무엇을 비교하는지 단위를 먼저 봅니다

테두리 길이·종이의 넓이·상자의 부피는 서로 다른 차원의 양입니다. 같은 ‘두 배’라는 말도 길이에는 k, 넓이에는 k², 부피에는 k³로 나타날 수 있습니다.

실제 인쇄에서는 여백·해상도·종횡비가 더해집니다. 이 활동은 같은 모양을 유지하는 기하 관계만 다룹니다.