‘만약’과 ‘아니면’만으로 결론을 만들 수 있을까?

사라진 저술을 후대의 보고로 어떻게 읽을까?

스토아 학파는 기원전 3세기 초 아테네에서 제논을 중심으로 시작되었다. 논리 체계는 특히 세 번째 학두였던 크리시포스가 크게 발전시킨 것으로 전한다. 그러나 초기 스토아 학자들의 논리 저술은 책 전체로 남지 않았다. 오늘날의 설명은 디오게네스 라에르티오스의 『유명한 철학자들의 생애와 사상』 7권, 스토아 학설을 비판적으로 인용한 섹스투스 엠피리쿠스 같은 후대 저자에게 크게 의존한다.[3][1][4]

따라서 ‘크리시포스가 오늘날의 명제 논리를 완성했다’고 곧장 말하면 지나치다. 남은 증언은 다섯 기본 형식과 일부 환원 규칙을 보여 주지만, 네 가지 테마 가운데 완전한 형태로 전하는 것은 일부뿐이다. 연대·용어·체계의 전체 모습에는 불확실성이 남는다. 아래 연표는 원전의 실물을 재현한 것이 아니라 전승 관계를 한눈에 보기 위한 편집 도해다.[2][3]

낱말의 포함 관계에서 문장 전체의 연결로

아리스토텔레스의 정언 삼단논법은 ‘모든 사람’, ‘어떤 동물’처럼 항 사이의 관계를 다룬다. 스토아 논리의 대표 형식은 다른 질문을 던진다. ‘비가 온다’와 ‘돌계단이 젖는다’라는 두 문장이 조건문으로 어떻게 연결되는지, 한 문장의 부정이 다른 문장에 어떤 영향을 주는지를 살핀다. 두 전통은 어느 하나가 다른 하나를 단순히 대체한 직선적 단계가 아니다. 다루는 단위와 문제의 초점이 달랐다.[2][3]

스토아 학자들은 구체적인 문장 대신 ‘첫째’, ‘둘째’ 같은 서수로 논증의 형식을 드러냈다. 오늘날 우리가 P와 Q를 쓰는 것과 기능은 닮았지만, 고대 자료가 P·Q 기호를 사용한 것은 아니다. 이 글의 P와 Q는 독자가 구조를 빠르게 대조하도록 붙인 현대 표기다.[2]

형식은 내용을 지우는 장치가 아니라, 어떤 내용이 들어와도 결론이 따라오는지를 검사하는 틀이다. 조건문 자체가 거짓이거나 전제가 실제로 거짓이면 논증은 타당한 꼴을 가질 수 있어도 사실을 입증한 논증은 되지 못한다. 이 구별은 5절에서 다시 살펴본다.

어떤 논증을 더 줄이지 않아도 되는 출발점으로 삼았을까?

디오게네스 라에르티오스 7권 79~81절과 섹스투스의 보고를 현대 연구와 대조하면 다섯 형식을 다음처럼 정리할 수 있다. 첫째와 둘째는 조건문, 셋째는 두 문장이 함께 참일 수 없다는 결합 부정, 넷째와 다섯째는 둘 가운데 정확히 하나만 참이라는 선택문을 앞세운다.[1][2][3]

첫째와 둘째를 오늘날 각각 전건 긍정과 후건 부정이라고 부를 수 있다. 그러나 넷째 형식을 현대의 포괄적 ‘또는’에 그대로 적용하면 오류가 생긴다. 스토아의 대표적 선택문은 두 선택지가 동시에 참일 수 없는 배타적 의미였기 때문이다.[2]

‘P 또는 Q’에서 둘 다 참일 가능성을 허용했을까?

일상 한국어의 ‘또는’은 문맥에 따라 포괄적일 수도, 배타적일 수도 있다. ‘차나 커피를 드립니다’가 둘 다 선택 가능하다는 뜻일 수 있지만, ‘동전은 앞면 또는 뒷면이 위다’는 한 번의 정상적인 던지기에서 둘 다를 허용하지 않는다. 크리시포스 계열의 선택문은 정확히 하나만 참이어야 하는 배타적 관계로 설명된다. 후대 스토아에서 포괄적 선택문도 따로 다루었다는 보고가 있다.[2]

그래서 네 번째 형식 ‘P 또는 Q, P, 그러므로 Q가 아니다’는 배타적 선택문에서는 타당하지만 포괄적 선택문에서는 타당하지 않다. P와 Q가 동시에 참인 행이 허용되면 P에서 Q의 부정을 끌어낼 수 없기 때문이다. 연결어의 뜻을 먼저 고정하지 않으면 같은 기호가 다른 논증을 만든다.

결론이 따라오는 것과 전제가 실제로 참인 것은 다르다

스토아 자료는 전제들의 결합을 앞부분으로, 결론을 뒷부분으로 만든 조건문이 옳을 때 논증을 타당하다고 설명한다. 여기에 전제들도 참이어야 ‘참인 논증’, 현대 용어로 건전한 논증이 된다. 따라서 타당성 검사는 연결 구조를, 건전성 검사는 구조와 실제 전제를 함께 묻는다.[2][3]

예를 들어 ‘모든 등대가 켜지면 항구가 밝다. 지금 모든 등대가 켜졌다. 그러므로 항구가 밝다’는 첫째 형식이다. 첫 조건문이 실제 상황에서 성립하고 두 번째 전제가 참이라면 건전하다. 반대로 같은 형식에 거짓 전제를 넣어도 형식적 타당성은 남지만, 실제 항구 상태를 입증하지는 못한다. 우연히 결론만 참인 잘못된 형식도 타당한 논증이 아니다.

긴 논증은 어떻게 다섯 출발점으로 돌아갔을까?

스토아의 ‘테마’는 긴 논증을 더 짧은 논증으로 바꾸는 환원 규칙이었다. 현대 연구는 첫째 테마를 반대 논증식 변환과, 셋째 테마를 여러 단계의 결론을 잇는 절단 규칙과 비슷하게 설명한다. 예컨대 ‘P와 Q라면 R’, ‘R이 아니다’, ‘P다’에서 ‘Q가 아니다’를 얻는 긴 논증은 둘째 기본 형식으로 ‘P와 Q가 함께인 것은 아니다’를 얻고, 이어 셋째 기본 형식으로 ‘Q가 아니다’를 얻는 두 단계로 분석할 수 있다.[2]

하지만 네 테마의 원문이 모두 온전하게 남은 것은 아니다. 현대 학자들은 남은 보고와 실제로 환원되었다고 전하는 사례를 바탕으로 빠진 규칙을 복원한다. 따라서 이 체계를 현대 증명론의 정확한 선조라고 단정하기보다, 제한된 증거에서 드러나는 강한 구조적 유사성으로 읽는 편이 안전하다.[2][3]

이 표의 P·Q·R은 현대적인 자리표시자다. 스토아 논리학자들이 같은 기호를 썼다는 뜻이 아니며, 위 환원은 『고대 논리』 항목 5.4절이 제시한 현대적 재구성의 구조를 한국어로 풀어 쓴 것이다.[2]

연결어의 뜻과 논증의 상태를 직접 판정해 보기

먼저 답을 가리고 형식, 연결어의 뜻, 전제의 사실 여부를 차례로 적어 보자. ‘결론이 그럴듯한가’보다 ‘전제가 모두 참인 경우 결론이 거짓일 수 있는가’를 먼저 묻는 것이 핵심이다.

기록 질문: 오늘 들은 주장 하나를 골라 ‘문장 사이의 연결’, ‘연결어의 뜻’, ‘전제의 사실성’을 세 줄로 나누어 적어 보자. 어느 줄을 바꾸면 결론이 더 이상 따라오지 않는가?