메르카토르 지도에서 곧은 항로가 왜 가장 짧은 길은 아닐까?

1569년 세계지도는 무엇을 쉽게 읽게 하려 했을까?

헤라르뒤스 메르카토르(Gerardus Mercator, 1512~1594)는 플랑드르의 지리학자이자 지도 제작자였습니다. 옥스퍼드대학교 유니버시티 칼리지의 자료는 1569년 세계지도의 제목에 항해를 위한 목적이 들어 있음을 설명합니다. 이 지도를 오늘날 벽에 붙인 세계지도처럼 나라의 넓이만 비교하는 도구로 읽으면, 제작 목적과 평가 기준이 어긋날 수 있습니다.[1]

항해 중 위치와 진로를 기록하려면, 바다 위에서의 방향을 종이 위의 선과 연결해야 합니다. 두 항구의 위치를 아는 것만으로는 ‘어느 방향으로 계속 나아갈지’가 결정되지 않습니다. 지도에 그은 선을 읽고, 그 선이 실제 지구 위에서 어떤 움직임을 뜻하는지 해석하는 규칙이 필요합니다.

메르카토르 투영의 중요한 성질은 일정한 방위를 따르는 경로를 직선으로 나타내는 것입니다. 이 경로를 항정선이라고 합니다. 영어로는 럼 라인(rhumb line), 또는 록소드롬(loxodrome)이라고 부릅니다. 여기서 ‘일정한 방위’란 지구 위 각 지점의 북쪽, 즉 그 지점의 경선과 이루는 각도가 같다는 뜻입니다.[3]

이것은 어느 지도에서든 자를 대면 성립하는 규칙이 아닙니다. 지구 표면을 평면으로 옮기는 방식에 따라 선의 뜻이 달라집니다. 지도 제목이나 투영법을 보지 않고 ‘직선이니 같은 방향’ 또는 ‘직선이니 최단 거리’라고 판단하는 순간, 확인하지 않은 전제가 끼어듭니다.

평행한 경선을 같은 각도로 만나면 왜 한 직선이 될까?

위도는 적도에서 북쪽이나 남쪽으로 얼마나 떨어져 있는지를 각도로 나타냅니다. 경도는 기준 경선에서 동쪽이나 서쪽으로 돌아간 정도입니다. 구형 지구에서 같은 위도의 점들을 이으면 위선이 되고, 북극과 남극을 잇는 선들이 경선입니다. 경선은 극에서 만나지만, 메르카토르 지도에서는 서로 평행한 세로선으로 그려집니다.

정각 투영이란 아주 작은 범위에서 두 방향 사이의 각도를 보존하는 투영입니다. 메르카토르 투영이 여기에 속합니다. 예를 들어 항로가 각 지점의 경선과 60도를 이룬다면, 지도에서도 세로 경선과 60도를 이룹니다. 평행한 세로선들을 같은 각도로 가로지르는 길은 지도 위에서 한 직선으로 이어집니다.[3]

도해의 A·B·C는 실제 항구가 아니라 이 관계를 설명하기 위한 가상 지점입니다. 세 지점마다 ‘북쪽’을 나타내는 짧은 세로선을 먼저 보고, 항로가 그 선과 만드는 각도를 비교해 보세요. 길이 모두 같은지, 나라의 넓이가 유지되는지는 아직 검사하지 않았습니다. 각도를 보존한다는 한 성질에서 거리나 면적 보존까지 따라오지는 않습니다.

실제 나침반의 바늘이 가리키는 자북과 지리적 북쪽은 다를 수 있습니다. 이 글의 방위는 지리적 북쪽을 기준으로 삼습니다. 바람·해류·자기 편차를 무시한 지도 기하의 설명을 그대로 배의 조타 지시로 바꾸어서는 안 됩니다.

북쪽으로 갈수록 위선 사이를 왜 더 벌려야 할까?

지구본에서 적도는 큰 원이지만 북위 60도의 위선은 더 작은 원입니다. 구형 지구에서 이 위선의 반지름은 지구 반지름의 절반입니다. 그러므로 같은 경도 차에 해당하는 동서 방향 길이도 적도에서의 절반입니다. 그런데 메르카토르 지도는 두 위선의 같은 경도 간격을 같은 가로 간격으로 그립니다. 북위 60도의 동서 길이는 적도를 기준으로 두 배 늘어난 셈입니다.[6]

가로만 두 배 늘리고 세로는 그대로 두면 작은 모양의 각도가 달라집니다. 각도를 보존하려면 북위 60도의 아주 작은 영역에서 남북 방향도 같은 두 배로 늘려야 합니다. 이 배율은 위도마다 달라집니다. 그래서 지도에서 적도와 가까운 위선 간격은 좁고, 극으로 갈수록 같은 위도 차의 간격이 넓어집니다.[6]

계산에서는 위도를 φ로 쓸 때 국소 길이 배율을 k=1/cosφ로 둡니다. ‘국소’는 한 점 주변의 충분히 작은 범위라는 뜻입니다. 적도에서 k는 1, 북위 30도에서 약 1.155, 북위 60도에서 2입니다. 동서·남북 두 방향에 같은 배율을 적용하므로 아주 작은 면적의 배율은 k의 제곱입니다. 따라서 북위 60도의 작은 땅은 적도와 비교해 길이는 두 배, 면적은 약 네 배로 표시됩니다.

이 네 배를 넓은 나라 전체에 그대로 곱하면 안 됩니다. 한 나라가 여러 위도에 걸쳐 있으면 그 안에서도 배율이 달라집니다. 도해의 작은 정사각형은 한 위도 주변의 미소 영역을 설명하기 위한 것입니다. 같은 경도·위도 폭으로 자른 큰 사각형의 실제 넓이가 같다는 주장도 아닙니다.

한 점 주변에서 모양을 보존한다는 말도 큰 대륙 전체가 지구본과 완전히 같은 모양이라는 뜻은 아닙니다. 국소 성질을 전 지구의 성질로 확대하지 않는 것이 이 지도를 읽는 첫 번째 주의점입니다.

북위 60도의 두 점을 잇는 길은 어떻게 달라질까?

이제 처음의 가상 좌표로 돌아갑니다. A는 북위 60도·경도 0도, B는 북위 60도·동경 90도입니다. 같은 위도를 따라 동쪽으로 가는 길은 지리적 북쪽에서 시계 방향으로 90도인 방위를 유지합니다. 지도에서는 수평 직선이며 항정선입니다. 그러나 이 위선의 원은 지구의 중심을 지나지 않는 작은 원입니다.

구의 중심을 지나는 평면으로 구를 자르면 가장 큰 원인 대권이 생깁니다. 서로 대척점이 아닌 두 점 사이의 구면 최단 경로는 두 점을 지나는 대권의 짧은 쪽 호입니다. A와 B의 경우 그 호는 북위 60도보다 북쪽으로 올라갑니다. 메르카토르 지도에는 휘어진 선으로 나타나지만, 지구 표면에서 잰 길이는 더 짧습니다.[4]

두 점 사이의 경도 차는 90도, 즉 라디안으로 π/2입니다. 위선의 반지름이 지구 반지름 R의 절반이므로, 항정선 길이는 R×cos60도×π/2입니다. R=6,371킬로미터를 넣으면 약 5,004킬로미터입니다. 이는 전체 위선 둘레의 4분의 1을 걷는 계산입니다.

대권의 길이는 지구 중심에서 두 점을 바라본 중심각으로 구합니다. 두 점의 위도가 같은 φ이고 경도 차가 Δλ이면, 중심각 c는 cos c=sin²φ+cos²φ×cosΔλ를 만족합니다. φ=60도, Δλ=90도를 넣으면 cos c=0.75입니다. 역코사인으로 구한 c를 라디안으로 나타내 R에 곱하면 약 4,605킬로미터가 됩니다.[5]

따라서 이 모형에서는 대권 경로가 약 399킬로미터 짧습니다. 지도상의 두 선을 자로 재어 얻은 차이가 아니라, 같은 구면 위의 두 경로를 각각 계산한 차이입니다. 소수점 아래 반올림에 따라 마지막 자릿수는 달라질 수 있으나 어느 경로가 짧은지는 바뀌지 않습니다.

위도와 경도 차를 바꾸면 두 길이의 차이도 달라질까?

아래 활동에서 두 지점의 공통 위도를 바꾸어 보세요. 먼저 북위 60도·경도 차 90도의 기본값을 읽은 다음, 위도만 0도로 바꿉니다. 적도 자체가 대권이므로 같은 위도를 따르는 항정선과 최단 대권 경로가 일치합니다. ‘항정선은 반드시 더 길다’는 주장에 대한 반례가 되는 조건입니다.

다음에는 위도를 다시 북위 60도로 두고 경도 차를 90도에서 30도로 줄여 보세요. 두 점이 가까워지면 이번 사례에서 거리 차도 작아집니다. 경도 차와 위도를 한꺼번에 바꾸지 말고 한 조건씩 바꾸어야 어떤 변화가 결과를 바꾸었는지 추적할 수 있습니다.

활동의 길이와 면적 배율은 앞 절의 같은 수식으로 계산됩니다. 표시된 거리 차는 ‘항정선 거리−대권 거리’입니다. 이것이 0이면 두 경로의 길이가 같다는 뜻이지 항로의 길이 자체가 0이라는 뜻은 아닙니다. 초기화 버튼을 누르면 본문의 기본 사례로 돌아옵니다.

기록 질문: 위도 0도·30도·60도에서 경도 차를 90도로 고정한 세 결과를 적으세요. 어느 조건에서 두 경로가 같아지는지, 그리고 ‘지도에서 짧아 보인다’는 관찰만으로 실제 거리를 판단할 수 없는 이유를 자신의 문장으로 설명해 보세요.

1569년 지도와 박물관의 복제본은 같은 물건일까?

자료의 제목에 ‘1569년 지도’가 들어 있어도 화면에 소개된 소장품이 바로 그해 찍힌 종이라고 단정할 수 없습니다. 영국 국립해양박물관의 중앙 대서양 도판 기록은 자료 유형을 지도·복제본으로 분류합니다. 설명에는 로테르담의 해양박물관 자료를 바탕으로 랜드 맥널리사가 복제하여 1964년 인사에 사용했다고 적혀 있습니다.[2]

같은 기록의 제작자와 제작일 항목은 ‘미상’입니다. 따라서 ‘1569년 메르카토르 세계지도에서 온 중앙 대서양 부분을 담은 후대 복제본’이라고 설명할 수 있지만, 소장품의 정확한 인쇄 연도를 1569년이나 1964년으로 확정해서는 안 됩니다. 원 지도 연도, 복제본의 사용 시점, 복제본 자체의 제작 연도는 서로 다른 정보입니다.[2]

또한 1569년 세계지도와 후년에 나온 메르카토르 지도책을 구별해야 합니다. 옥스퍼드 자료는 이 항해용 투영의 세계지도가 별도로 출판되었으며, 1595년 지도책에 들어간 세계지도는 아들 루몰트의 다른 투영을 사용했다고 설명합니다. ‘메르카토르의 지도’라는 공통 이름만으로 같은 투영이나 같은 판본이라고 생각하면 사료를 잘못 연결하게 됩니다.[1]

이 글의 세 SVG 역시 원전의 도판이 아닙니다. 원 지도에 우리가 계산한 A와 B, 5,004킬로미터, 4,605킬로미터가 실려 있었다는 인상을 주지 않도록 모두 현대 교육용 재구성이라고 표시했습니다. 역사 자료는 제작 목적과 전승을, 현대 모형은 그 투영의 수학적 관계를 확인하는 데 각각 사용했습니다.

각도 보존, 면적 비교, 실제 항해는 왜 따로 판단해야 할까?

‘정확한 지도’라는 말은 무엇을 정확히 보존하는지 붙여야 뜻이 분명해집니다. 이 글에서 확인한 메르카토르 투영의 장점은 국소 각도와 항정선의 직선 표현입니다. 나라끼리의 넓이를 비교하려면 면적을 보존하는 투영이나 독립된 면적 자료가 필요합니다. 지도 위의 눈에 보이는 크기만으로 인구·경제·중요성까지 판단하는 것은 더 큰 비약입니다.

길이를 읽을 때도 지도 전체에 하나의 자를 대면 된다고 생각하면 안 됩니다. 같은 종이 위 1센티미터라도 위도에 따라 지구 위의 길이가 다릅니다. 지도에서 선이 휘었다는 이유만으로 실제 길도 더 길다고 결론 내릴 수 없는 까닭입니다. 서로 다른 위도를 지나는 선의 종이 위 길이는 서로 다른 배율이 섞인 값입니다.

실제 최적 항로는 다시 별개입니다. 구면에서 가장 짧은 길이 육지를 통과하거나 기상 조건에 맞지 않을 수 있습니다. 이 활동은 그런 제약을 넣지 않았습니다. ‘기하학적 최단 경로’라는 계산 결과를 ‘지금 배가 따라야 할 최선의 항로’라고 바꾸어 말하지 않습니다. 한 모형의 결론을 다른 목적에 사용할 때는 빠진 조건을 먼저 보태야 합니다.

역사 해석에도 같은 절제가 필요합니다. 현대 수식으로 1569년 지도의 성질을 설명할 수 있다고 해서 메르카토르가 이 글의 수식이나 계산 프로그램을 그대로 사용했다는 증거가 생기지는 않습니다. 이번에 직접 읽은 자료만으로 그의 정확한 제작 계산 절차를 확정하지 않으며, 오늘의 설명과 당시의 작업 방식을 구별합니다.

지도의 선이 뒷받침하는 주장만 골라 보자

문제 1. 메르카토르 지도에서 A와 B를 잇는 선이 곧습니다. 여기서 곧바로 ‘같은 지리적 방위를 따르는 길’과 ‘지구 표면의 최단 경로’라는 두 결론을 모두 내릴 수 있을까요?

해설 1. 두 결론을 함께 내릴 수는 없습니다. 정각 성질과 평행한 경선으로부터 항정선이라는 결론을 얻지만, 최단 경로는 구면 거리의 별도 문제입니다. 북위 60도·경도 차 90도 사례에서는 직선 항정선이 약 5,004킬로미터이고 대권 경로가 약 4,605킬로미터입니다. 반면 적도 위에서는 두 경로가 일치할 수 있습니다.

문제 2. 적도와 북위 60도에 있는 아주 작은 같은 실제 면적을 적도 축척이 1인 구형 메르카토르 지도에 표시합니다. 북위 60도의 작은 면적은 두 배로 보일까요, 네 배로 보일까요?

해설 2. 국소적으로 약 네 배입니다. 북위 60도에서는 가로와 세로의 길이 배율이 각각 2이므로 면적 배율은 2×2=4입니다. 이 계산을 여러 위도에 걸친 큰 나라 전체의 면적 배율로 바로 사용하면 안 됩니다.

문제 3. 박물관 제목에는 ‘1569년 세계지도’가 있고 설명에는 ‘1964년 인사에 사용’이라고 적혀 있습니다. 소장품은 1569년에 제작된 원본이라고 결론 내릴 수 있을까요?

해설 3. 아닙니다. 자료 유형이 복제본이며 정확한 제작일은 미상으로 표시되어 있습니다. 1569년은 원 지도의 연도, 1964년은 복제본의 용도와 관련된 시점입니다. 제목 속 연도 하나로 현재 물건의 제작 연도를 확정할 수 없습니다.[2]

마지막 기록: 이번 글에서 ‘보존되는 것’ 한 가지, ‘달라지는 것’ 두 가지, ‘별도 자료가 필요한 것’ 한 가지를 적어 보세요. 각 항목을 뒷받침하는 도해·계산·소장품 기록의 위치도 함께 남기면 자신의 해석을 다시 검사할 수 있습니다.