두 배열을 겹치면 모든 조합을 한 번씩 만들 수 있을까?

『구수략』의 한 배열을 오늘의 말로 읽다

최석정은 1646년에 태어나 1715년에 세상을 떠났으며, 숙종 대에 여러 관직을 지낸 문신입니다. 정치 활동과 함께 역법·산학·수의 질서에 관심을 두었습니다. 서울대학교 규장각한국학연구원의 소장품 해설은 『구수략』을 최석정이 1700년에 간행한 4권 2책의 목판본으로 소개합니다. 책 이름의 ‘구수’는 선비가 익혀야 할 수의 여러 갈래를 가리킨다고 설명합니다.[1][4]

같은 기관의 고도서 서지에는 현재 소장본의 간행연도가 ‘미상’으로 적혀 있습니다. 따라서 이 글에서는 1700년을 규장각 해설과 현대 연구에서 널리 쓰는 저술·간행 시점으로 소개하되, 소장본 자체에 확정 연도가 적혀 있다고 표현하지 않습니다. 한 권의 책도 해설에서 정리한 역사와 개별 판본의 서지를 구별해 읽어야 합니다.[1][2]

『구수략』은 수의 근원, 도량형, 계산법과 여러 도식을 함께 다룹니다. 한국과학기술원 수리과학과의 해설은 이 책이 수학의 기초와 본질을 정리하려 했고, 마지막 부분의 마방진과 도식에 최석정의 수리철학이 드러난다고 설명합니다. 한 가지 배열만 떼어 ‘현대 조합론 교과서’로 부르기보다, 책 전체의 넓은 목적 속에서 오늘의 조합 구조를 읽는 편이 정확합니다.[1][4]

연표의 목적은 ‘누가 먼저였는가’만 강조하는 데 있지 않습니다. 같은 배열 문제가 시대마다 다른 질문을 낳았다는 점을 보는 데 있습니다. 최석정은 9차 배열로 마방진을 구성했고 10차의 구성을 찾지 못했다고 적었습니다. 오일러도 훗날 10차 문제에서 막혔으며, 1959년에 전자계산기를 이용한 탐색으로 10차의 예가 발견되었습니다.[5]

각 배열은 행과 열의 중복을 없앤다

현대 조합론에서 n차 라틴 방진은 n가지 기호를 n×n 칸에 배치한 배열입니다. 각 기호는 모든 행과 모든 열에 정확히 한 번씩 나타납니다. 여기서 ‘방진’이라는 말이 붙어도 행과 열의 합을 같게 만드는 마방진과 규칙은 다릅니다. 라틴 방진은 우선 기호의 출현 횟수와 위치를 검사합니다.[3]

아래는 역사 자료를 축소한 도판이 아니라 규칙을 읽기 위한 3×3 자체 예시입니다. 배열 가에는 숫자 1·2·3을, 배열 나에는 글자 가·나·다를 넣었습니다. 어느 한 줄을 가로로 읽어도 세 기호가 한 번씩 나오고, 세로로 읽어도 마찬가지입니다. 숫자와 글자를 사용한 까닭은 두 배열의 역할을 눈으로 분리하기 위해서입니다.

한 행에서 조건을 만족하는 것만으로 전체 검사가 끝나지 않습니다. 세 행과 세 열, 모두 여섯 줄을 확인해야 합니다. 첫째 행이 1·2·3이고 둘째 행도 1·2·3이라는 사실은 각 열의 중복을 막아 주지 않습니다. 배열을 아래로 내려가며 어떤 기호가 되풀이되는지도 따로 살펴야 합니다.

질문 1. 배열 나의 첫째 행에서 ‘나’와 ‘가’의 자리를 서로 바꾸면 무엇이 먼저 깨질까요? 해설: 바꾼 첫째 행에는 가·나·다가 여전히 한 번씩 있어 행 조건은 남습니다. 그러나 첫째 열은 가·다·가가 되어 ‘가’가 두 번 나오고 ‘나’가 사라집니다. 한 방향의 규칙을 보존한 이동이 다른 방향의 규칙까지 보존하는지 확인해야 합니다.

겹친 뒤에는 기호가 아니라 짝을 센다

두 라틴 방진의 같은 위치를 겹쳐 숫자와 글자를 한 쌍으로 읽어 봅시다. 첫 칸은 (3, 나), 그 옆은 (1, 가), 다음은 (2, 다)입니다. 아홉 칸을 모두 읽으면 숫자 세 가지와 글자 세 가지가 만드는 아홉 순서쌍이 정확히 한 번씩 나타납니다. 이런 두 라틴 방진을 서로 직교한다고 부릅니다.[3][5]

‘각 배열이 라틴 방진이다’와 ‘두 배열이 서로 직교한다’는 별개의 검사입니다. 첫 번째는 각 층의 행과 열을 봅니다. 두 번째는 두 층을 겹쳐 만든 짝 전체를 봅니다. 두 배열이 각각 행·열 규칙을 지켜도 (1, 가)가 두 칸에 되풀이되면 직교 조건은 깨집니다.

순서쌍에서 앞자리와 뒷자리의 역할도 구별해야 합니다. (1, 가)와 (가, 1)은 같은 두 기호를 담지만 이 글의 배열에서는 서로 다른 표기입니다. 앞자리는 배열 가, 뒷자리는 배열 나에서 가져온다는 약속을 고정해야 중복을 정확히 셀 수 있습니다.

질문 2. 두 배열이 각각 라틴 방진이라는 사실만 확인하고 ‘그러므로 서로 직교한다’고 결론 내리면 어떤 단계가 빠질까요? 해설: 겹친 순서쌍의 중복 검사가 빠집니다. 행과 열에서 각 기호가 한 번씩 나오는 성질은 각 배열 내부의 조건입니다. 두 배열 사이의 대응이 아홉 조합을 모두 한 번씩 만드는지는 3×3 전체를 겹쳐 별도로 세어야 합니다.

순서쌍을 수로 바꾸면 무엇이 보일까?

이제 글자 가·나·다를 각각 1·2·3으로 읽습니다. 숫자 a와 글자에 대응한 수 b의 짝 (a, b)를 하나의 수 3(a−1)+b로 바꿉니다. (1, 가)는 1, (1, 나)는 2, (1, 다)는 3이 됩니다. 같은 방식으로 (3, 다)는 9가 됩니다. 직교 조건 덕분에 1부터 9까지가 빠짐없이 한 번씩 나타납니다.[5]

아래 자체 예시에서는 변환한 결과가 8·1·6 / 3·5·7 / 4·9·2가 됩니다. 각 행과 열의 합은 15이고 두 대각선의 합도 15입니다. 이 3×3 결과는 널리 알려진 마방진의 한 배열입니다. 최석정이 남긴 것은 9차 직교 라틴 방진과 그에 연결된 9차 마방진이므로, 아래 수들은 그의 9차 배열을 축소하거나 일부만 잘라 낸 것이 아닙니다. 원리를 작은 크기로 다시 만든 예시입니다.[3][5]

변환식은 짝을 번호로 바꾸는 사전처럼 작동합니다. 앞자리 a가 1이면 1~3, 2이면 4~6, 3이면 7~9를 배정하고, 뒷자리 b가 그 묶음 안의 위치를 정합니다. 모든 짝이 한 번씩 나오므로 모든 번호도 한 번씩 나옵니다. 그러나 1~9가 한 번씩 나온다는 사실만으로 마방진의 모든 합 조건이 자동으로 따라오지는 않습니다.

각 행의 합이 15인 까닭은 배열 가의 한 행에 1·2·3이 한 번씩 있고, 배열 나의 같은 행에도 1·2·3이 한 번씩 있기 때문입니다. 3(a−1)의 합은 3×[(1−1)+(2−1)+(3−1)]=9이고 b의 합은 6이어서 전체는 15입니다. 열에도 같은 계산을 적용할 수 있습니다.

대각선은 별도로 확인해야 합니다. 라틴 방진의 정의는 모든 행과 열을 말하며 대각선을 포함하지 않습니다. 이 예에서는 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 8+5+2=15, 오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 6+5+4=15입니다. 정의에 들어 있지 않은 조건을 그림에서 우연히 만족한다고 해서 원래 정의에 몰래 보태서는 곤란합니다.

어떤 결론이 어느 전제에서 나오는지 연결한다

지금까지의 검사를 논증도로 정리해 봅시다. 두 배열의 행·열 조건은 변환된 각 행과 열의 합을 15로 만드는 근거가 됩니다. 직교 조건은 변환 뒤 1부터 9까지가 한 번씩 나온다는 결론을 뒷받침합니다. 두 대각선의 합은 실제 칸을 더한 별도 계산으로 확인합니다.

세 갈래의 검사를 합치면 ‘이 결과는 3차 마방진이다’라는 결론에 도달합니다. 하나라도 빠지면 결론의 범위가 달라집니다. 1~9가 모두 한 번씩 있어도 행의 합이 다를 수 있고, 행·열의 합이 같아도 대각선의 합이 다를 수 있습니다.

이 구분은 역사 자료를 읽을 때도 중요합니다. 현대 연구가 최석정의 배열을 직교 라틴 방진으로 해석할 때에는 원본의 칸 배치를 오늘의 정의에 비추어 검사합니다. 책에 현대 용어가 쓰였다는 주장과, 배열이 현대 정의를 충족한다는 주장은 서로 다릅니다.

질문 3. 오른쪽 마방진에서 1과 2의 자리만 바꾸면 어떤 검사를 다시 해야 할까요? 해설: 1부터 9까지가 한 번씩 있다는 조건은 남습니다. 그러나 첫째 행은 8+2+6=16, 셋째 행은 4+9+1=14가 되어 행 합 조건이 깨집니다. 두 대각선 중 8+5+1도 14로 바뀝니다. 원소의 유일성과 합의 균형은 서로 다른 조건입니다.

‘먼저’라는 말 뒤에 남는 질문들

김성숙·강미경의 2010년 연구는 라틴 방진과 직교 라틴 방진을 현대적으로 정의하고, 『구수략』의 9차 배열이 두 직교 라틴 방진을 이용해 마방진을 구성한 사례라고 설명합니다. 유럽 수학사에서 오랫동안 오일러와 연결해 소개한 개념의 앞선 사례가 조선의 문헌에 있었다는 점을 강조합니다.[3]

세인트앤드루스대학교 수학사 자료도 같은 성취를 소개하며, 9차 배열의 현대 표기와 마방진 구성, 10차 문제의 후속 역사를 설명합니다. 다만 ‘최초’라는 표현은 무엇을 세는지 밝혀야 합니다. 직교하는 배열의 존재, 현존 문헌에 실린 구성, 현대 용어와 일반 이론은 같은 역사적 사건이 아닙니다.[5]

『구수략』의 배열을 오늘의 정의로 검증하는 일은 의미가 큽니다. 동시에 최석정이 현대 조합론의 모든 개념과 목적을 미리 갖고 있었다고 넓혀 말할 근거는 제한적입니다. 그는 수의 질서와 마방진을 포함한 자신의 학문적 맥락에서 배열을 다루었습니다. 오늘의 독자는 구조의 같음과 역사적 문제의 다름을 함께 기록해야 합니다.[4][3]

원본 목판의 구체적인 모든 칸과 제작 절차를 이번 글에서 새로 판독한 것도 아닙니다. 규장각의 서지·해설, 학술논문의 공개 초록과 서지, 대학 수학사 해설의 관련 범위를 대조했습니다. 정확한 원문 판독과 판본 비교에는 원본 이미지와 전문 연구의 추가 검토가 필요합니다.

색과 무늬를 수업표의 두 조건으로 바꾸어 본다

3×3 칸을 사흘 동안의 세 교시라고 생각해 봅시다. 배열 가의 1·2·3은 세 명의 교사, 배열 나의 가·나·다는 세 가지 토론 주제입니다. 각 날짜의 세 교시에 교사가 한 번씩 배치되고, 같은 교시를 날짜별로 내려 읽어도 교사가 한 번씩 나타납니다. 주제도 같은 규칙을 지킵니다.

두 배열을 겹치면 ‘교사 1과 주제 가’부터 ‘교사 3과 주제 다’까지 아홉 조합이 한 번씩 생깁니다. 한 교사가 세 주제를 각각 한 번 맡고, 각 주제도 세 교사를 각각 한 번 만납니다. 숫자와 글자를 사람과 활동으로 바꾸어도 검사해야 할 관계는 같습니다.

여기서 직교 배열이 보장하는 것은 조합의 균형입니다. 교사의 실제 전문성, 학생 수, 쉬는 시간, 교실 이동까지 자동으로 해결하는 수업표는 아닙니다. 새로운 조건을 더하면 별도의 제약이 생깁니다. 좋은 도식은 해결한 조건과 아직 남은 조건을 함께 보이게 합니다.

직접 작은 카드를 만들어 보세요. 먼저 교사 카드만 놓고 행·열을 검사합니다. 다음에는 주제 카드를 따로 놓고 같은 검사를 합니다. 마지막으로 두 카드를 겹쳐 아홉 짝을 표에 적습니다. 같은 짝이 두 번 나오면 어느 배열을 어떻게 바꿀지 찾되, 바꾼 뒤 두 배열의 행·열 조건도 처음부터 다시 확인합니다.

짧은 활동. 배열 나의 둘째 행과 셋째 행을 통째로 서로 바꾸어 보세요. 배열 나 자체의 행·열 조건은 유지되고, 겹친 아홉 순서쌍도 여전히 한 번씩 나타납니다. 그러나 3(a−1)+b로 만든 수 배열의 대각선 합은 달라질 수 있습니다. 어떤 변환이 어떤 성질을 보존하는지 하나씩 표시하면, ‘모양이 달라졌다’와 ‘논리가 달라졌다’를 구별할 수 있습니다.