고대의 visual logic

점토판 위의 정사각형

예일 바빌로니아 컬렉션의 점토판 YBC 7289에는 정사각형과 대각선, 그리고 수가 함께 새겨져 있습니다. 기원전 약 1800~1600년의 자료로 추정됩니다. 오늘날의 표기법으로 옮긴 수 1;24,51,10은 60진법에서 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³을 뜻합니다. 계산하면 약 1.41421296, 곧 √2에 매우 가까운 값입니다.[1][2]

한 변의 수를 30으로 읽는 해석을 따르면, 대각선에 대응하는 수 42;25,35는 약 42.42638889입니다. 도형이 ‘어떤 길이를 계산하는가’를 보여 주고, 수가 그 관계를 정밀하게 기록합니다. 아래 그림은 이 해석을 현대의 숫자와 선으로 다시 그린 것입니다.[2]

여기서 읽을 수 있는 것은 도형과 수치 사이의 정교한 연결입니다. 계산에 사용한 구체적인 절차나 일반 정리의 증명까지 이 짧은 기록만으로 확정할 수는 없습니다. 남아 있는 표시와 우리가 덧붙이는 해석을 구별하는 일도 그림 읽기의 일부입니다.

넓이를 두 배로 만들려면

플라톤의 『메논』에는 소크라테스가 노예 신분의 소년과 도형을 놓고 문답하는 장면이 나옵니다. 한 변이 2인 정사각형의 넓이는 4입니다. 그렇다면 넓이가 8인 정사각형의 한 변은 얼마일까요? 소년은 처음에 변도 두 배로 하면 된다고 답합니다. 그러나 변을 4로 늘리자 넓이는 16이 됩니다. 3으로 바꾸어도 넓이는 9입니다.[3]

문답은 원래 정사각형의 대각선으로 향합니다. 넓이가 4인 정사각형 네 개를 모은 뒤, 각각의 대각선으로 가운데 정사각형을 만들면 어떨까요? 가운데에는 작은 정사각형의 절반씩 네 조각이 모입니다. 넓이는 2 × 4 = 8. 처음 도형의 대각선이 새 정사각형의 한 변이 됩니다.[3]

이 장면에서 그림은 답을 가리키는 동시에 잘못된 짐작이 왜 맞지 않는지 드러냅니다. 독자는 선을 따라가며 자기 판단을 수정할 수 있습니다. 다만 『메논』은 지식과 배움을 논하는 철학적 대화편입니다. 이 장면을 실제 수업의 효과를 측정한 실험이나 선천적 지식의 과학적 증거로 받아들여서는 곤란합니다.[3]

같아 보이는 세 변, 같다고 말할 근거

유클리드 『원론』 제1권의 첫 명제는 주어진 선분 위에 정삼각형을 만드는 작도입니다. 선분 AB를 정한 뒤, A를 중심으로 AB를 반지름으로 하는 원을 그립니다. 이번에는 B를 중심으로 같은 길이의 원을 그립니다. 두 원의 위쪽 교점 C를 A와 B에 연결합니다.[4]

왜 세 변이 같을까요? AB와 AC는 A를 중심으로 한 원의 반지름이므로 같습니다. BA와 BC는 B를 중심으로 한 원의 반지름이므로 같습니다. 같은 길이 AB와 같은 두 길이는 서로도 같습니다. 따라서 AB = AC = BC입니다. 도형의 각 선에 ‘같은 이유’를 붙이면 작도가 논증으로 이어집니다.[4]

한 가지 더 물을 수 있습니다. 두 원의 교점 C가 존재한다는 것은 어떻게 보장할까요? 데이비드 조이스의 주석은 유클리드가 이 존재를 명시된 공준만으로 충분히 정당화하지 않았다고 지적합니다. 눈에 선명하게 보이는 관계에도 말로 밝혀야 할 전제가 남을 수 있습니다.[4]

내가 그린 선을 읽는 세 가지 질문

세 자료는 시대와 목적이 다르지만, 오늘 우리가 생각을 펼쳐 놓을 때 써 볼 만한 질문을 남깁니다. 다음은 고대 자료를 읽으며 생각그림연구소가 제안하는 연습입니다.

종이에 작은 도형 하나를 그려 보세요. 수를 적었다면 단위와 대상을, 선을 이었다면 관계와 이유를 함께 적습니다. 한 조건을 바꾸었을 때 무엇이 달라지는지도 살펴봅니다. 그렇게 그린 그림은 다른 사람이 질문하고 다시 확인할 수 있는 생각의 기록이 됩니다.

길이의 배수와 넓이의 배수를 나누어 읽기

『메논』에서 드러난 실수는 서로 다른 양에 같은 배수를 적용한 데 있습니다. 한 변을 두 배로 늘리면 가로와 세로가 각각 두 배가 되므로 넓이는 네 배가 됩니다. 넓이를 두 배로 만들려면 한 변에는 √2를 곱합니다. 아래 활동에서 원래 변을 2에서 3으로 바꾸어도 이 배수 관계가 유지되는지 확인해 보세요.[3]

점토판의 수 역시 ‘대각선 그 자체’와 ‘대각선과 변의 비’를 나누어 읽어야 합니다. 1;24,51,10은 길이에 곱할 비이고, 한 변을 30으로 놓을 때 대각선 근삿값이 약 42.42638889가 됩니다. 아래의 자리 수 선택은 이미 알려진 수의 일부를 생략해 정밀도를 비교하는 현대적 활동입니다. 점토판을 만든 사람이 실제로 사용한 계산법이라고 추정하지 않습니다.[2]

연습 1. 원래 한 변을 3, 배수를 2로 놓으면 새 넓이는 36입니다. ‘넓이가 두 배’라는 설명을 고쳐 쓰세요. 해설: 원래 넓이는 9이므로 새 넓이는 네 배입니다. 넓이가 두 배인 18이 되게 하려면 배수 √2를 선택합니다.

연습 2. 60진법 소수 부분을 세 자리로 고정하고 원래 한 변을 1에서 60으로 바꾸세요. 대각선의 절대 오차는 60배가 되지만, 대각선에 대한 상대 오차는 같습니다. 해설: 같은 근사 비를 곱하므로 참값과 근삿값의 차이도 변의 길이에 비례합니다. 이 관찰은 계산식의 성질이며 고대인의 증명 방법에 대한 역사적 증거는 아닙니다.