부울의 대수와 현대 불 대수는 어디까지 같은가?

그림에서 무엇을 볼까요?

부울의 1854년 부류대수, 현대 불 대수, 두 원소 참거짓 해석을 세 층으로 나누고 공통점과 차이를 표시한 비교 도해

현대 불 대수는 meet, join, complement, 0, 1을 갖는 구조로 정리된다. 집합을 예로 들면 교집합, 합집합, 여집합, 공집합, 전체집합이 이에 해당한다. 원소가 0과 1 두 개뿐인 불 대수에서는 meet와 join을 ‘그리고’와 ‘또는’으로, 0과 1을 거짓과 참으로 해석할 수 있다.

이 현대 체계는 부울의 목표와 핵심 아이디어를 잇지만, 그의 원래 대수를 그대로 복사한 것은 아니다. 부울은 보통 대수의 덧셈·뺄셈을 폭넓게 사용했고 덧셈은 서로 겹치지 않는 부류에 제한했다. 현대 불 대수의 join은 모든 두 원소에 대해 정의되며 x∨x=x를 만족한다. 따라서 ‘부울이 현대 진리표를 완성했다’기보다, 논리를 대수적 계산으로 다루는 길을 열었고 후대가 그 길의 규칙을 다시 정리했다고 말하는 편이 정확하다.