함께 오르는 것과 같은 값을 주는 것은 다르다
보존 작업실에서 같은 조각 다섯 개를 기준 측정법과 새 측정법으로 쟀다고 합시다. 기준법은 50·60·70·80·90, 새 방법은 59·71·78·92·100을 기록했습니다. 큰 대상을 큰 값으로, 작은 대상을 작은 값으로 읽으므로 두 열은 거의 완벽하게 함께 오릅니다.
피어슨 상관계수는 반올림해 0.996입니다. 상관은 두 값이 직선 관계로 함께 변하는 정도를 요약합니다. 새 방법에 언제나 10을 더해도 순서는 그대로라 상관은 매우 높을 수 있습니다. 그러나 기준법 70인 대상에서 새 방법이 78을 주면 숫자가 같은 것은 아닙니다.
짝별 차이인 ‘새 방법−기준법’은 +9·+11·+8·+12·+10이고 평균은 +10.0입니다. 이 표본에서 새 방법이 체계적으로 약 10만큼 높게 읽는 편향이 보입니다. 대체 사용의 질문에는 상관보다 이 차이가 직접 연결됩니다.
Bland와 Altman은 1986년 논문에서 상관만으로 측정법 일치를 판단하는 문제를 지적하고, 같은 대상의 두 측정값 차이를 두 값의 평균에 대해 그리도록 제안했습니다. 이 글은 그 계산 구조를 다섯 쌍의 새 예시로 단순화했습니다.
참고 · J. Martin Bland, Douglas G. Altman — 상관이 아니라 짝별 차이로 측정법의 일치를 평가하기 ↗
차이의 중심과 흩어짐을 함께 본다
차이 다섯 개의 표본 표준편차는 약 1.58입니다. 평균 차이 ±1.96×표준편차를 계산하면 근사 95% 일치 한계는 +6.9에서 +13.1입니다. 새 방법의 한 측정값이 기준법보다 얼마나 높아질 수 있는지 표본의 차이 분포로 표현한 범위입니다.
‘95%’는 앞으로 측정한 모든 값이 반드시 그 안에 든다는 보증이 아닙니다. 차이가 대략 정규분포를 따르고, 측정 크기에 따라 흩어짐이 크게 달라지지 않으며, 짝들이 독립이라는 단순 조건 아래에서 쓰는 경험적 한계입니다. 다섯 쌍은 너무 작아 실제 승인 판단에는 불확실성이 큽니다.
차이-평균 그림에서는 가로축에 두 방법의 평균, 세로축에 차이를 둡니다. 점이 오른쪽으로 갈수록 벌어지거나 기울어지면 일정한 +10 보정만으로 충분하지 않을 수 있습니다. 반복 측정이 있거나 비율 오차가 커지는 경우에는 별도의 모형과 변환이 필요합니다.
평균 편향을 빼면 이 표의 수정 차이는 −1·+1·−2·+2·0이 됩니다. 교정이 도움이 될 수 있지만, 새 자료에서도 같은 편향이 유지되는지 검증해야 합니다. 활동의 네 보기는 원값, 상관, 차이, 일치 한계를 분리해 보여 줍니다.
참고 · J. Martin Bland, Douglas G. Altman — 측정법 비교에서 일치 한계가 성립하는 조건 ↗
허용 오차를 결과를 보기 전에 정한다
통계적으로 좁아 보이는 한계가 실무적으로 허용 가능한지는 별도 질문입니다. 조각 보존에서 ±2만 허용된다면 +6.9부터 +13.1인 차이는 너무 큽니다. 반대로 거친 선별에서 ±15를 허용한다면 표본 결과가 그 범위에 들어갈 수 있습니다. 허용 기준은 결과를 본 뒤 유리하게 정하지 말고 용도·안전·비용에 따라 미리 정합니다.
두 방법 중 하나가 절대적인 참값이라는 가정도 조심해야 합니다. 기준법 자체에 반복 오차가 있을 수 있습니다. 측정 순서를 무작위화하고, 관찰자를 가리며, 각 방법의 반복성을 따로 측정하면 방법 차이와 실행 차이를 더 잘 구분할 수 있습니다.
이 예시의 r=0.996, 평균 차이 +10.0, 한계 +6.9~+13.1은 같은 다섯 쌍에서 계산됐습니다. 높은 상관이라는 한 숫자가 다른 세 정보를 지우지 않습니다. 보고서에는 산점도와 차이 그림, 편향과 한계, 표본 수, 사전 허용 범위를 함께 적는 편이 안전합니다.
다른 상황에도 적용해 보세요. 두 혈압계, 두 번역 채점자, 수동·자동 재고량이 높은 상관을 보일 때 실제로 필요한 것은 함께 움직이는 순서인가요, 같은 단위의 가까운 값인가요? 사용 목적에 맞는 허용 차이를 먼저 쓰면 ‘관련이 높다’에서 ‘바꿔 써도 된다’로 성급히 건너뛰지 않게 됩니다.