한 언어 안에서,
그 언어의 참을 모두 정의할 수 있을까요?

형식 체계는 기호를 어떤 규칙으로 배열하고 어떤 문장을 증명할 수 있는지 말할 수 있습니다. “증명된다”와 “참이다”는 서로 다른 개념입니다. 어떤 체계 안에서 증명되지 않더라도 의도한 해석에서는 참일 수 있고, 체계의 건전성을 말하려면 증명과 진리를 비교해야 합니다.

타르스키는 진리를 막연한 철학적 표어로 두지 않고, 특정 형식언어의 문장에 대해 엄밀한 정의를 만들 수 있는 조건을 묻습니다. 원문은 언어를 정확히 기술한 뒤 그 언어에 맞는 정의를 구성하는 방법을 찾습니다.

눈은 희다는 눈에 관해 말하는 문장입니다. 반면 ‘눈은 희다’는 따옴표 안의 표현을 가리키는 이름입니다. 왼쪽에 문장 이름을 두고 오른쪽에 그 문장이 말하는 내용을 두어야, 무엇에 ‘참’이라는 술어를 붙였는지 분명해집니다.

이 구별은 장식적인 따옴표 규칙이 아닙니다. 이름과 대상 문장을 섞으면 한 표현이 자기 자신에 관해 말하는 길이 열리고, 진리의 문법적 주체도 흐려집니다.

일상언어는 자기 문장을 가리키는 이름, ‘참’ 같은 의미론적 표현, 논리적 추론을 한 언어 안에 함께 담습니다. 이런 풍부함은 대화에는 편리하지만 “이 문장은 참이 아니다”처럼 자기 자신을 향하는 문장을 만들 수 있게 합니다.

그 문장을 참이라고 두면 내용상 참이 아니고, 참이 아니라고 두면 내용상 참이 되는 충돌이 생깁니다. 타르스키는 먼저 정확한 구조를 가진 형식언어로 범위를 제한합니다.

첫째는 형식적 올바름입니다. 정의가 순환하지 않고, ‘참’을 이미 몰래 사용하지 않으며, 정해진 메타언어의 규칙에 맞아야 합니다. 둘째는 내용적 적합성입니다. 정의에서 각 문장에 대해 우리가 의도한 진리 조건을 끌어낼 수 있어야 합니다.

현대 해설이 ‘Convention T’라고 부르는 조건은 두 번째 요구를 검사하는 틀입니다. 다만 T-동치문 몇 개를 나열하는 일과 모든 문장을 포괄하는 하나의 정의를 구성하는 일은 다릅니다.

진리를 정의하려는 언어를 대상언어 L이라고 합시다. L의 문장을 이름 붙이고, 그 문장의 구조를 기술하며, L의 표현을 번역해 적을 수 있는 더 풍부한 언어가 메타언어 M입니다. 진리 정의는 M 안에서 L의 문장들에 관해 말합니다.

‘위’와 ‘아래’는 언어의 가치 순위가 아닙니다. 이번 정의 작업에서 맡은 역할의 차이입니다. 다른 문제에서는 오늘의 메타언어가 다시 대상언어가 될 수 있습니다.

형태는 ‘p’는 참이다 ↔ p입니다. 왼쪽의 p 자리는 대상언어 문장의 이름, 오른쪽은 그 문장 자체 또는 메타언어 번역입니다. 예를 들어 ‘2는 짝수다’는 참이다 ↔ 2는 짝수다가 됩니다.

이 동치문은 ‘참’의 사전식 뜻풀이보다 더 엄밀한 검사를 맡습니다. 후보 정의가 모든 대상 문장에 대해 올바른 동치문을 낳는지 확인합니다. 아래 실험은 이름과 사용을 뒤섞은 문장을 구별하게 합니다.

최소한 세 묶음이 필요합니다. 대상언어의 문장과 기호를 다룰 구문론적 어휘, 대상언어의 표현을 옮겨 쓸 자원, 그리고 수열·집합 같은 보조 대상을 다룰 논리·수학적 장치입니다. 원문은 대상언어와 메타언어의 공리를 함께 분명히 하려 합니다.

여기에 ‘참’을 설명 없이 다시 원시어로 넣으면 정의의 일이 끝난 척할 뿐입니다. 목표는 허용된 비의미론적 자원과 대상언어의 표현을 사용해 진리 술어를 명시적으로 정의하는 것입니다.

x<y 같은 열린 식은 x와 y가 무엇인지 정하기 전에는 참·거짓을 바로 묻기 어렵습니다. 대신 변수에 대상을 배정한 수열이 그 식을 만족하는지 묻습니다. x=1, y=2이면 만족하고, x=2, y=1이면 만족하지 않습니다.

만족 관계는 열린 식까지 포괄하며, 식의 구성 방식에 따라 재귀적으로 정의할 수 있습니다. 진리는 그 뒤 닫힌 문장에 대해 얻습니다.

원자식에서 출발해 연결사의 구조를 한 단계씩 따릅니다. 배정 s가 ¬A를 만족하는 것은 s가 A를 만족하지 않는 경우이고, A∧B를 만족하는 것은 s가 A와 B를 모두 만족하는 경우입니다.

이 방법의 힘은 긴 문장을 한꺼번에 판정하지 않는 데 있습니다. 식을 만든 문법과 같은 방향으로 즉시 구성요소의 만족 조건을 사용합니다. 그래서 유한한 규칙으로 임의로 긴 식을 다룰 수 있습니다.

∀x A를 보려면 현재 배정에서 x만 정의역의 각 대상으로 바꿔 본 모든 배정을 검사합니다. 그 모든 변형 배정이 A를 만족할 때에만 원래 배정이 전체식을 만족합니다. 존재양화는 적어도 하나의 변형 배정이 만족하면 됩니다.

정의역이 {1,2,3}인 장난감 모형에서 ∀x(x<4)는 세 경로가 모두 통과합니다. 이 유한 그림은 보편양화의 조건을 보이는 비유이고, 정의역이 항상 유한하다는 주장은 아닙니다.

자유변수가 없는 닫힌 문장은 변수 배정에 따라 내용이 흔들리지 않습니다. 따라서 모든 수열이 그 문장을 만족하면 참이고, 어느 수열도 만족하지 않으면 거짓입니다. 열린 식은 배정에 민감하지만 문장은 그렇지 않다는 차이를 이용합니다.

이때 진리는 만족을 다시 한 문장으로 이름 붙인 결과입니다. 기술의 순서는 구문 → 배정에 의한 만족 → 닫힌 문장의 진리입니다.

대상언어가 자기 구문을 부호화할 만큼 표현력이 있고, 같은 언어 안에 모든 문장에 적용되는 진리 술어를 정의했다고 가정해 봅시다. 대각화로 “나는 참이 아니다” 유형의 문장을 구성하면, 그 문장의 T-동치문이 모순을 되살립니다. 따라서 고전적이고 일관된 충분히 강한 언어에서는 요구한 진리 술어를 같은 층에 둘 수 없습니다.

이 결과는 언어의 표현력, 고전적 추론, 전체 진리 술어 같은 조건을 함께 요구합니다. 빈약한 언어와 부분적 진리 술어, 비고전 논리는 각각 별도로 살펴야 합니다.

L₀의 진리는 L₁에서, L₁의 진리는 더 높은 L₂에서 다루는 위계가 필요합니다. 각 층은 바로 아래 언어의 문장 이름과 진리 조건을 말할 자원을 갖습니다. 층위를 표시하면 한 언어가 자기 진리 술어를 무제한으로 쓰는 고리를 끊을 수 있습니다.

그러나 일상언어는 이런 층 번호를 늘 드러내지 않습니다. 타르스키 자신도 자연언어 전체에 형식언어의 해법이 그대로 적용된다고 단정하지 않았습니다. 위계는 엄밀한 성과인 동시에 적용 범위를 묻는 출발점입니다.

원전은 만족을 재귀적으로 정의해 특정 형식언어의 진리를 엄밀하게 구성하는 방법을 보였고, 충분히 강한 언어가 자기 진리 전체를 같은 언어 안에서 정의할 수 없다는 경계를 밝혔습니다. 이 작업은 훗날 모형이론의 표준적 의미론으로 이어지는 토대를 놓았습니다.

1933년 정의와 오늘날의 임의 구조에 대한 모형이론적 진리 정의는 구별해야 합니다. 원문은 주로 완전히 해석된 언어들을 다뤘고, 1956년 타르스키·보트의 정식화는 다른 단계입니다. T-동치문이 진리의 형이상학적 본질을 하나로 결정했다는 해석도 원전이 강제하지 않습니다.