참과 거짓 사이에,
세 번째 값이 들어갈 수 있을까요?

같은 호에 먼저 실린 가능성 강연 보고는 미래의 우연적 사건을 묻습니다. “내년 이맘때 바르샤바에 내가 있을 것이다”가 아직 결정되지 않았다면, 지금 그것을 참 1이나 거짓 0 중 하나로 밀어 넣어야 하는가가 문제였습니다.

제9회의 중심 논문은 이 배경을 받아 형식 체계를 제시합니다. 여기서 중요한 전환은 ‘우리가 모른다’를 단순한 지식 부족으로 두지 않고, 명제 계산 안에서 세 번째 값이 차지할 자리를 규칙으로 정했다는 데 있습니다.

가능성 강연은 여섯 가지 양상 문장을 비교합니다. “A일 수 있다”, “A가 아닐 수 있다”, “A일 수 없다”, “A가 아니지 않을 수 없다”처럼 가능과 부정을 조합하면, 일부 문장은 0이나 1로 안정되지만 일부 칸은 두 값만으로 일관되게 채우기 어렵습니다.

우카시에비치는 이 빈칸을 표현의 결함으로 보지 않았습니다. 오히려 값의 체계가 좁다는 신호로 읽었습니다. 제9회 원전은 그 결과를 받아 “가능”을 나타내는 새 값을 도입합니다.

원문은 참을 1, 거짓을 0, 가능성을 2로 적습니다. 변수는 이제 0·1뿐 아니라 2도 값으로 가질 수 있습니다. 여기서 2는 크기가 1보다 큰 수라는 뜻이 아닙니다. 세 번째 논리값의 이름표입니다.

우카시에비치는 새 값을 넣는 데서 멈추지 않고 동일성·함의·부정의 값을 정합니다. 세 값 논리는 ‘애매한 회색’을 말로 덧붙인 체계가 아니라, 모든 입력 조합에 결과를 주는 계산 규칙입니다.

후대 해설은 세 값을 0, ½, 1로 정규화해 순서를 눈에 보이게 만들기도 합니다. 계산식을 쓰기에는 편하지만, 1920년 보고가 실제로 택한 표기는 0, 2, 1입니다. 이번 글은 원전의 기호를 먼저 존중합니다.

대신 각 표에서 2를 가운데 색으로 표시하고 뜻을 ‘가능’이라고 반복합니다. 원전 읽기와 현대적 재표기를 한 표 안에서 섞으면, 독자는 2가 산술값인지 이름표인지 놓치기 쉽기 때문입니다.

부정은 두 끝값을 맞바꾸고 가운데 값은 그대로 둡니다. 0의 부정은 1, 1의 부정은 0, 2의 부정은 2입니다. 아직 결정되지 않은 A를 부정한 “A가 아니다”도 같은 방식으로 아직 결정되지 않았다고 보는 셈입니다.

아래 실험은 이 세 규칙만 보여 줍니다. 가능성의 철학적 해석 전체를 실험 하나로 대신하지 않습니다.

두 값 논리에서는 같은 값끼리의 동일성이 참 1이고 두 끝값 0과 1의 동일성은 거짓 0입니다. 새 값 2를 넣으면 한 단계가 더 생깁니다. 2=2는 1이지만 2=0, 0=2, 2=1, 1=2는 모두 가운데 값 2입니다.

따라서 이 연결사는 단순한 ‘같으면 1, 다르면 0’ 검사가 아닙니다. 같은 입력은 1, 서로 반대인 두 끝값은 0, 가운데 값과 한 끝값을 비교하면 2를 냅니다. 입력값과 판단 결과를 구분해야 합니다.

함의 p → q는 앞값이 뒷값을 보장하는 정도를 나타냅니다. 고전 영역의 네 칸은 그대로입니다. 0→0, 0→1, 1→1은 1이고 1→0만 0입니다.

새 값이 들어간 다섯 칸에서 우카시에비치는 0→2, 2→1, 2→2를 1로 둡니다. 반대로 2→0과 1→2는 2입니다. 가능에서 거짓으로, 참에서 가능으로 내려가는 함의가 완전히 참도 거짓도 아닌 가운데 값이 됩니다.

행은 전건 p, 열은 후건 q입니다. 순서를 바꾸면 결과도 바뀔 수 있습니다. 예를 들어 2→0은 2지만 0→2는 1입니다. 함의가 대칭 관계가 아니라는 사실이 세 값에서도 그대로 드러납니다.

원문은 부정과 함의를 먼저 두고, 다른 연결사를 그것들로 정의합니다. 논리합은 (p → q) → q로, 논리곱은 드모르간 방식의 ¬(¬p ∨ ¬q)로 정합니다. 따라서 앞서 완성한 함의표와 부정표만 있으면 나머지 값을 계산할 수 있습니다.

세 값의 순서를 거짓 0, 가능 2, 참 1로 놓으면 결과적으로 논리합은 더 높은 값, 논리곱은 더 낮은 값을 고르는 표가 됩니다. 이 ‘높고 낮음’은 0<2<1이라는 논리적 순서입니다.

p가 0이나 1이면 익숙한 결과가 유지됩니다. p∨¬p는 1이고 p∧¬p는 0입니다. 그러나 p=2이면 ¬p도 2이므로 두 식 모두 2를 얻습니다.

원문은 이런 고전 법칙 가운데 일부가 새 체계에서 오직 ‘가능’의 값만 갖거나 거짓이 될 수 있다고 지적합니다. 여기서 “법칙이 완전히 무의미해졌다”고 과장하면 안 됩니다. 모든 대입에서 1을 얻는 고전적 타당성의 지위를 잃었다는 정확한 변화가 핵심입니다.

1920년 보고는 값 2를 ‘가능’에 대응시킵니다. 미래 우연 사건이 아직 결정되지 않았다는 형이상학적 생각이 배경입니다. 단순히 관찰자가 답을 모른다는 뜻으로만 축소하면 원문의 문제의식을 놓칩니다.

다만 두 쪽짜리 보고는 현대 의미론처럼 가능한 세계, 정보 상태, 확률을 세밀하게 구분하지 않습니다. 그래서 이번 글도 2를 확률 50%나 심리적 확신의 중간값으로 바꾸지 않습니다. 원전이 말한 가능성의 자리만 정확히 따라갑니다.

아래에서 p를 고르면 부정, 논리합, 논리곱의 결과가 함께 바뀝니다. 가운데 값에서 두 식이 모두 2가 되는 이유는 ¬2=2이고, 2∨2와 2∧2가 모두 2이기 때문입니다.

원문은 이 체계를 첫 비아리스토텔레스적 논리 체계라고 평가합니다. 배중률과 모순율을 고전 논리의 절대적 틀로 보던 관습에서 벗어나, 명제 계산 전체를 세 값으로 다시 구성했기 때문입니다.

이는 폴란드 전체의 논리 성향을 말하는 표현이 아닙니다. 1920년 르부프에서 우카시에비치가 발표한 특정 연구의 자기평가입니다. 같은 호에는 스몰카의 비판적 논평도 이어져, 이 전환이 곧바로 합의된 결론이 아니었음을 보여 줍니다.

확실한 성과는 세 가지입니다. 세 번째 값 2를 도입했고, 동일성·함의·부정과 파생 연결사의 규칙을 제시했으며, 그 결과 일부 고전 법칙의 값이 달라진다는 점을 보였습니다. 이 정도만으로도 완결된 세 값 명제 계산의 윤곽이 생깁니다.

반면 원문은 경험과학에서의 적용, 미래 사건의 형이상학, 모든 다치논리의 일반 이론을 완성했다고 말하지 않습니다. 오히려 이론적 중요성을 강조하면서 경험적·실천적 의미는 열어 둡니다. 후대의 무한값 논리와 양상논리 연구는 이 출발점의 계승이지, 1920년 두 쪽 안에 이미 들어 있던 결과가 아닙니다.