스위치의 연결을 식으로 바꾸면 회로를 더 간단히 만들 수 있을까?
클로드 섀넌의 1937년 석사 연구 — 직렬·병렬 릴레이와 부울 대수를 연결한 방법
클로드 섀넌은 전기가 흐르는 길을 0과 1의 기호로 옮겨, 같은 동작을 하는 여러 릴레이 회로를 식으로 비교했다. 직렬 연결은 두 조건이 모두 맞을 때, 병렬 연결은 어느 한 조건만 맞아도 닫히는 구조다. 세 입력 회로를 진리표로 검산하고, 식을 묶어 접점 수를 줄이는 과정과 실제 장치에서 따로 확인해야 할 조건을 살펴본다.
스위치 두 개가 모두 닫혀야 전기가 흐르는 회로와, 두 갈래 가운데 어느 한쪽 스위치만 닫혀도 전기가 흐르는 회로는 동작 조건이 다릅니다. 1930년대의 전화 교환기와 산업 제어 장치에는 이런 접점이 수십 개, 수백 개씩 얽혀 있었습니다. 회로가 복잡해질수록 같은 기능을 더 적은 접점으로 만들 수 있는지 판단하기도 어려웠습니다.
클로드 섀넌은 매사추세츠공과대학교에서 릴레이(relay, 전기 신호로 접점을 여닫는 장치)의 열림과 닫힘을 기호로 적고, 직렬과 병렬 연결을 대수식으로 바꾸었습니다. 1937년에 제출한 석사 연구를 바탕으로 한 논문은 1938년 미국전기공학회지에 실렸습니다. 이 연구는 조지 부울의 이름을 딴 부울 대수(Boolean algebra, 참과 거짓을 0과 1로 다루는 계산 체계)를 실제 스위칭 회로 분석과 설계에 연결했습니다.
이 글에서는 먼저 전류가 흐르는 물리적 조건을 확인합니다. 이어서 그 조건을 0과 1의 식으로 옮기고, 모든 입력 조합에서 두 회로가 같은 결과를 내는지 검산합니다. 마지막에는 접점 수가 줄어도 전류 용량과 접점 작동 순서 같은 실제 공학 조건은 별도로 검토해야 함을 확인합니다.
복잡한 릴레이 회로에서 ‘같은 동작’을 어떻게 비교했을까?
릴레이는 전자석으로 접점을 움직여 다른 전기 회로를 열거나 닫는 장치다. 섀넌의 논문이 다룬 제어·보호 회로는 자동 전화 교환기, 산업용 모터 제어 장치, 복잡한 자동 장치에 쓰였다. 설계자는 원하는 동작 조건을 지키면서 접점 수를 줄인 회로를 찾아야 했다.[2]
섀넌은 회로의 모양을 하나씩 시험하는 대신, 접점의 상태와 연결 방법을 기호로 나타내는 계산법을 만들었다. 두 회로가 모든 입력에서 함께 열리고 함께 닫히면 동작이 같다고 보고, 대수식의 변형으로 등가 회로를 찾았다. 논문의 목표에는 주어진 동작 조건에서 회로를 합성하고, 같은 동작을 하는 여러 회로 가운데 더 간단한 것을 찾는 문제가 포함됐다.[2][1]
직렬은 ‘둘 다’, 병렬은 ‘하나라도’라는 조건이 된다
접점 X와 Y를 직렬로 놓으면 두 접점이 모두 닫혀야 전류가 끝까지 흐른다. X와 Y를 각각 1로 두었을 때만 출력이 1이므로 식은 XY로 적을 수 있다. 오늘날의 논리곱, 곧 ‘그리고’와 같은 입력표를 갖는다.[2]
두 접점을 서로 다른 가지에 병렬로 놓으면 X 또는 Y 가운데 하나만 닫혀도 전류가 흐른다. 식은 X+Y로 적는다. 이때 +는 보통 정수 덧셈과 뜻이 다르다. X=1, Y=1이어도 출력은 전류가 흐르는 상태 1이다. 이 두 값 체계에서는 1+1=1로 계산한다.[2]
| X | Y | 직렬 XY | 병렬 X+Y |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
보통 닫힘 접점은 입력의 반대 상태를 어떻게 나타낼까?
릴레이 접점에는 코일이 작동하지 않을 때 열려 있는 접점과 닫혀 있는 접점이 있다. 입력 X가 0일 때 닫히고 X가 1일 때 열리는 접점은 X의 반대 상태를 나타낸다. 섀넌은 이런 접점을 부정 기호가 붙은 변수로 나타냈다.[2]
부정 접점을 이용하면 ‘X가 켜지지 않았고 Y도 켜지지 않았을 때’ 같은 조건을 회로로 만들 수 있다. 드모르간 법칙에 따라 X와 Y의 병렬 연결 전체를 부정한 조건은 두 부정 접점을 직렬로 놓은 조건과 같다. 식으로는 (X+Y)'=X'Y'다. 회로 모양이 달라도 네 입력 조합의 출력이 모두 같으면 등가다.[2]
같은 X 접점을 두 번 쓰던 회로를 한 번만 쓰도록 묶을 수 있을까?
출력이 XY+XZ인 회로를 생각해 보자. 첫 번째 가지에는 X와 Y가 직렬로 있고, 두 번째 가지에는 X와 Z가 직렬로 있다. X 접점이 두 가지에 하나씩 들어가므로 접점은 모두 네 개다.[2]
분배법칙을 거꾸로 적용하면 XY+XZ=X(Y+Z)가 된다. X 접점 하나를 먼저 지나고, 그 뒤에서 Y와 Z가 병렬로 갈라지는 회로다. 접점은 세 개로 줄어든다. X가 0이면 두 회로 모두 꺼지고, X가 1이면 Y 또는 Z가 1일 때 켜진다. 여덟 입력 조합을 전부 계산하면 두 식의 출력이 언제나 같다.[2]
| X | Y | Z | XY+XZ | X(Y+Z) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
이미 있는 회로를 읽는 일과 원하는 회로를 만드는 일은 어떻게 다를까?
회로 분석은 주어진 연결을 식으로 옮기고, 그 식이 어떤 입력에서 1이 되는지 확인하는 작업이다. 직렬과 병렬, 반대 접점을 차례로 읽으면 복잡한 배선도 하나의 함수로 바뀐다. 등가식으로 정리하면 회로가 같은 동작을 유지하는지 비교할 수 있다.[2]
회로 합성은 원하는 출력 조건에서 출발한다. 예를 들어 ‘주 전원 X가 켜져 있고, 센서 Y나 수동 스위치 Z 가운데 하나가 켜지면 작동한다’는 조건을 X(Y+Z)로 적고 회로를 배치한다. 섀넌은 특정 동작 특성을 만족하는 회로가 하나뿐이지 않으며, 그중 접점 수가 적은 회로를 찾는 방법을 다뤘다.[2][4]
식이 같으면 실제 장치도 언제나 똑같이 움직일까?
두 식의 출력표가 같다는 사실은 논리적 동작의 등가를 보여 준다. 그러나 실제 릴레이에는 접점이 움직이는 시간, 접점이 견딜 수 있는 전류, 코일의 전압, 여러 접점이 닫히는 순서가 있다. 섀넌도 논문의 회로 계산과 별도로 전류 용량과 접점 작동 순서 같은 고려가 필요하다고 밝혔다.[5]
따라서 접점 수를 줄인 회로가 실제로 더 안전하고 빠르다고 곧바로 결론 내릴 수 없다. 논리식은 어떤 입력에서 통전되는지를 검증하는 도구다. 장치의 시간 지연, 고장 방식, 전기적 정격은 별도의 시험과 설계 기준으로 확인해야 한다. 이 구분은 오늘날 디지털 논리 회로에서도 기능 검증과 물리 구현 검증을 나누는 이유를 이해하는 데 도움이 된다.[5][2]
회로 그림과 식이 같은 조건을 말하는지 확인해 보자
답을 보기 전에 각 입력에서 전류가 흐르는 길을 손가락으로 따라가고, 그 조건을 식으로 적어 보자. 식을 먼저 외우기보다 접점의 실제 연결과 출력표를 함께 확인하면 직렬·병렬·부정의 뜻이 분명해진다.
| 문제 | 판정 | 해설 |
|---|---|---|
| 1. X와 Y를 직렬로 연결하면 둘 가운데 하나만 닫혀도 전류가 흐른다. | 아니다 | 직렬에서는 두 접점이 모두 닫혀야 한 길이 완성된다. 출력 조건은 XY다. |
| 2. XY+XZ와 X(Y+Z)는 X·Y·Z의 여덟 입력 조합에서 같은 출력을 낸다. | 맞다 | X가 0이면 둘 다 0이고, X가 1이면 둘 다 Y+Z와 같다. 표의 여덟 행에서도 출력이 일치한다. |
| 3. 불 식으로 접점 수가 줄었으면 실제 장치의 안전성과 속도도 자동으로 좋아진다. | 근거가 부족하다 | 식은 통전 조건의 등가를 검증한다. 전류 용량, 작동 순서, 지연과 고장 조건은 따로 확인해야 한다. |
기록 질문: 교실의 전등, 엘리베이터 문, 자동차 시동처럼 두 가지 이상 조건이 함께 작동하는 장치를 하나 고르자. 조건을 직렬과 병렬 가운데 어떤 연결로 나타낼지, 그 이유와 함께 적어 보자.
출처와 도해 안내
역사 49편. MIT 소장 석사논문과 1938년 AIEE 게재본의 서지 차이를 분리했습니다. 직렬=곱, 병렬=합, 보통 닫힘 접점=부정의 대응은 섀넌 논문의 기호 해석을 바탕으로 교육용 회로에 재구성했습니다. SVG 4점은 원문 도판을 복제하지 않고 편집부가 새로 제작했으며, 각 파일에 화면 읽기용 제목과 설명을 넣었습니다. 자료 확인일:
- A symbolic analysis of relay and switching circuits Claude Elwood Shannon · Massachusetts Institute of Technology Open Scholarship
MIT 소장 석사논문의 제목, 저자, 지도교수, 1940년 소장본 서지, 원문 PDF와 이용 조건을 확인했습니다. 1937년 제출·1938년 게재 기록과 소장본의 날짜를 구분했습니다.
- A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits Claude E. Shannon · Transactions of the American Institute of Electrical Engineers 57(12), 1938, 713–723
게재본에서 릴레이 회로의 분석·합성 목적, 직렬·병렬 연결과 대수 연산의 대응, 부정과 드모르간 법칙, 등가 회로와 최소 접점 문제를 확인했습니다.
- A symbolic analysis of relay and switching circuits IEEE · DOI 10.1109/EE.1938.6431064
1938년 Electrical Engineering 게재본의 공식 DOI와 IEEE 문서 식별자를 확인했습니다.
- A symbolic analysis of relay and switching circuits Smithsonian/NASA Astrophysics Data System bibliographic record
논문의 권·쪽과 네트워크 합성, 등가 회로, 접점 수를 줄이는 설계 목표에 관한 초록 범위를 교차 확인했습니다.
- Shannon-1937.pdf — MIT course archive scan Claude E. Shannon · MIT Center for Bits and Atoms course archive
석사논문 스캔에서 실제 회로 적용 예와 전류 용량·접점 작동 순서 같은 물리적 고려가 별도로 필요하다는 한계를 확인했습니다.