내용을 바꿔도 결론이 따라오는지 어떻게 검사했을까?

참인 문장 둘을 놓았을 때 무엇이 반드시 따라오는가

아리스토텔레스는 추론을 단순히 설득력 있는 말로 보지 않았습니다. 『분석론 전서』 첫머리에서 그는 어떤 것들이 놓였을 때, 그것들이 그렇게 놓였기 때문에 다른 것이 필연적으로 따라오는 담화를 정의합니다. 핵심은 결론을 더 믿을 만하게 만드는 정도가 아니라, 전제가 참인데 결론이 거짓인 경우가 가능한지를 묻는 것입니다.[1][2]

그가 집중한 범주는 ‘모든 S는 P이다’, ‘어떤 S는 P이다’, ‘어떤 S도 P가 아니다’, ‘어떤 S는 P가 아니다’처럼 주어와 술어의 포함·배제를 말하는 문장입니다. 오늘날 이를 범주 명제라고 부릅니다. 접속사와 조건문을 다루는 모든 논리를 포괄하지는 않지만, 한정된 문장 형식 안에서 가능한 조합을 빠짐없이 조사한다는 점이 새로웠습니다.[2][3]

먼저 타당성과 건전성을 구별해야 합니다. 타당성은 ‘전제가 모두 참이라면 결론이 거짓일 수 없다’는 형식의 성질입니다. 건전성은 거기에 실제 전제의 참까지 더한 상태입니다. ‘모든 고래는 책이다. 모든 범고래는 고래다. 그러므로 모든 범고래는 책이다’는 전제가 거짓이라 건전하지 않지만, 같은 포함 형식을 지니므로 타당합니다.

결론의 두 항 사이를 중항이 연결한다

범주 삼단논법에는 세 항이 두 번씩 나타납니다. 결론의 주어를 소항 S, 결론의 술어를 대항 P라고 부르고, 두 전제에 공통이지만 결론에는 없는 항을 중항 M이라고 부릅니다. 중항은 두 전제를 잇는 다리이지만 결론에서는 역할을 마치고 사라집니다.[2][5]

‘모든 포유류는 척추동물이다. 모든 고래는 포유류다. 그러므로 모든 고래는 척추동물이다’에서 S는 고래, M은 포유류, P는 척추동물입니다. 첫 전제는 M-P, 둘째 전제는 S-M, 결론은 S-P입니다. 낱말의 순서를 그대로 외우기보다 각 항이 주어인지 술어인지 표시해야 합니다.

아리스토텔레스는 중항의 자리에 따라 세 도형을 나눴습니다. 첫째 도형에서는 M이 한 전제의 주어이자 다른 전제의 술어이고, 둘째 도형에서는 두 전제의 술어이며, 셋째 도형에서는 두 전제의 주어입니다. 같은 ‘모든’이라는 말 두 개가 있어도 중항의 자리가 달라지면 따라오는 결론이 달라집니다.[1][2]

질문 1. ‘모든 지도 제작자는 관찰자다. 모든 항해사는 지도 제작자다. 그러므로 모든 항해사는 관찰자다’에서 S·M·P는 무엇일까요? 해설: 결론의 주어 항해사가 S, 술어 관찰자가 P, 두 전제에만 공통인 지도 제작자가 M입니다. 형식은 M-P, S-M ∴ S-P인 첫째 도형입니다.

S가 M 안에, M이 P 안에 있으면 S는 P 안에 있다

첫째 도형의 대표 형식은 후대에 Barbara라고 불렸습니다. 세 모음 A-A-A는 두 전제와 결론이 모두 보편 긍정, 즉 ‘모든’ 문장임을 기억하게 합니다. 원전은 이 중세 명칭을 쓰지 않고, 모든 B가 A에 속하고 모든 C가 B에 속하면 모든 C가 A에 속한다고 설명합니다.[1][2][3]

현대 집합 그림으로는 S 전체가 M 안에 있고 M 전체가 P 안에 있으므로 S 전체가 P 안에 있다고 읽을 수 있습니다. 이 그림은 새로운 전제를 보태지 않습니다. 두 포함 관계를 한 화면에 겹쳐 결론의 포함 관계가 이미 생겼는지 확인합니다.

내용을 바꿔도 형식은 유지됩니다. ‘모든 장미는 식물이다. 모든 붉은 장미는 장미다. 그러므로 모든 붉은 장미는 식물이다’도 같은 구조입니다. 항의 실제 크기나 수는 달라도 S⊆M⊆P라는 관계가 같으면 결론 S⊆P가 따라옵니다.

질문 2. ‘모든 달 기지는 바다 위에 있다. 모든 연구소는 달 기지다. 그러므로 모든 연구소는 바다 위에 있다’는 타당할까요? 해설: 실제 전제가 이상하거나 거짓이어도, 두 전제를 참이라고 가정하면 결론은 반드시 따라옵니다. 그러므로 형식은 타당하지만 실제 전제가 참인지 확인되지 않아 건전하다고 할 수는 없습니다.

공통 술어 하나만으로 두 집단이 같아지지는 않는다

이제 비슷해 보이는 형식을 보겠습니다. ‘모든 고양이는 포유류다. 모든 개는 포유류다. 그러므로 모든 개는 고양이다.’ 두 전제는 참이지만 결론은 거짓입니다. 중항 포유류가 두 전제의 술어로만 나타나는 둘째 도형에서 A-A-A를 택하면, S와 P가 같은 M 안에 있다는 사실밖에 얻지 못합니다.[2][3]

고양이와 개는 포유류 안에서 서로 겹칠 필요가 없습니다. 아래 반례 모형은 P와 S를 M 안의 떨어진 두 영역으로 놓습니다. 그러면 두 전제는 모두 참이지만 ‘모든 S는 P’라는 결론은 거짓입니다. 가능한 배치 하나만 찾으면 그 형식이 결론을 필연적으로 보장하지 못한다는 것이 드러납니다.

아리스토텔레스도 성립하지 않는 조합에 구체적인 항들을 대입해 서로 다른 결론 가능성을 보였습니다. 현대 언어로 말하면 참인 전제와 거짓인 결론을 동시에 만드는 반례를 찾는 셈입니다. 반례는 ‘대체로 틀린다’를 보이는 통계가 아니라, ‘반드시 따라온다’는 보편 주장을 한 번에 무너뜨립니다.[1][2]

질문 3. ‘모든 시인은 사람이다. 모든 과학자는 사람이다. 그러므로 모든 과학자는 시인이다’의 오류를 설명해 보세요. 해설: 시인과 과학자가 모두 사람이라는 공통 술어를 가질 뿐, 두 집단 사이의 포함 관계는 주어지지 않았습니다. 과학자이지만 시인이 아닌 한 사람을 허용하는 모형이면 반례가 됩니다.

어려운 형식은 전환하거나 불가능을 가정해 첫째 도형으로 줄였다

아리스토텔레스는 모든 타당한 조합을 따로 직감에 맡기지 않았습니다. 첫째 도형의 몇몇 추론을 ‘완전한’ 것으로 두고, 다른 도형의 타당한 추론을 명제의 전환이나 불가능을 통한 증명으로 첫째 도형에 줄였습니다. 이는 어떤 결과를 다른 기본 결과로 환원하는 메타 수준의 작업입니다.[1][2][3]

예를 들어 ‘어떤 P도 M이 아니다’는 ‘어떤 M도 P가 아니다’로 전환할 수 있습니다. 이 전환과 ‘모든 S는 M이다’를 결합하면 첫째 도형의 ‘어떤 S도 P가 아니다’를 얻습니다. 다만 ‘모든 P는 M이다’를 단순히 ‘모든 M은 P이다’로 뒤집을 수는 없습니다. 모든 고양이가 포유류라고 해서 모든 포유류가 고양이는 아니기 때문입니다.

불가능을 통한 증명에서는 결론의 반대를 임시로 놓고 전제와 함께 모순이 생기는지 봅니다. 이 방법은 도형 분류가 단순한 목록이 아니라, 왜 타당한지 보여 주는 증명 절차였음을 드러냅니다. 중세의 기억명은 어떤 전환과 환원 절차를 써야 하는지도 암호처럼 담았습니다.[2][3]

낱말을 가리고 S·M·P만 남긴 뒤 반례 가능성을 찾는다

첫 단계는 결론에서 S와 P를 찾고, 두 전제에만 공통인 M을 표시하는 것입니다. 둘째 단계는 모든·어떤·아니다를 보존한 채 문장을 표준형으로 고칩니다. 셋째 단계는 전제가 참이고 결론이 거짓인 배치를 그릴 수 있는지 찾습니다. 그 배치가 하나라도 있으면 타당하지 않습니다.

짧은 활동: ‘모든 장학생은 학생이다. 어떤 운동선수는 학생이다. 그러므로 어떤 운동선수는 장학생이다’를 검사하세요. 학생 집합 안에 장학생과 운동선수 영역을 서로 떨어뜨려 놓을 수 있습니다. 두 전제는 참으로 유지되지만 결론은 거짓이므로 타당하지 않습니다. 이제 장학생·학생·운동선수를 각각 조류·동물·반려동물로 바꿔도 같은 반례 구조가 유지되는지 확인해 보세요.

반대로 ‘모든 장학생은 학생이다. 어떤 연구원은 장학생이다. 그러므로 어떤 연구원은 학생이다’에서는 그 반례를 그릴 수 없습니다. 연구원 가운데 적어도 하나가 장학생 안에 있고 장학생 전체가 학생 안에 있으므로, 그 연구원은 학생 안에도 있어야 합니다. 이는 첫째 도형의 특정 긍정 형식입니다.

강력한 형식 체계였지만 모든 추론을 담지는 못했다

아리스토텔레스의 범주 삼단논법은 세 항과 두 전제, 한 결론의 특정 구조를 다룹니다. ‘비가 오면 길이 젖는다’ 같은 조건문, ‘또는’이 들어간 문장, 둘 이상의 관계를 가진 ‘모든 사람은 누군가를 존경한다’ 같은 표현은 이 체계만으로 충분히 분석하기 어렵습니다. 현대 술어논리는 이런 범위를 크게 넓혔습니다.[2][5]

또한 전통적 체계는 보편 명제가 그 항의 대상이 실제로 존재한다는 전제를 어느 정도 품는 것으로 읽혔습니다. ‘모든 키메라는 괴물이다’에서 ‘어떤 괴물은 키메라다’를 끌어내는 전환은 키메라가 하나도 없다고 보는 현대 해석에서는 성립하지 않습니다. 빈 집합을 허용하는지에 따라 같은 문장의 논리적 효과가 달라집니다.[2][5]

그럼에도 역사적 성취는 분명합니다. 낱말의 설득력과 추론의 형식을 분리하고, 가능한 조합을 분류하며, 타당성을 증명하고 비타당성을 반례로 보이는 체계를 세웠습니다. 이는 개별 논증을 푸는 법뿐 아니라 ‘추론 체계 전체가 어떤 성질을 갖는가’를 묻는 연구였습니다.[2][3]

따라서 오늘의 독자는 두 층을 함께 지켜야 합니다. 형식이 타당한지 먼저 검사하고, 실제 전제가 참이며 용어가 한 뜻으로 쓰였는지 다시 확인합니다. 타당한 형식은 거짓 전제를 참으로 만들지 않고, 참인 전제도 잘못된 형식을 스스로 고쳐 주지 않습니다.