다섯 줄짜리 표만으로 무한 목록을 반박한 것은 아니다

그림에서 무엇을 볼까요?

다섯 행만 바꾼 부분 구성과 모든 n번째 행을 바꾸는 무한 구성을 비교하여 전자는 뒤 행과 같을 수 있고 후자는 모든 행과 다름을 표시한 도해

다섯 자리 0·1 수열은 2⁵=32개다. 다섯 행만 적어 놓고 대각선을 뒤집으면 그 다섯 행과 다른 수열 하나를 쉽게 만들 수 있다. 이것은 5개 항목이 32개 수열을 모두 담을 수 없다는 유한한 계산이며, 대각선 규칙을 눈으로 확인하는 좋은 모형이다.

그러나 무한 목록의 첫 다섯 행과 첫 다섯 자리만 바꾸면 여섯째 이후의 어떤 행과 우연히 같을 수 있다. 칸토어의 결론은 ‘일부 대각선’이 아니라 모든 자연수 n에 대해 n번째 칸을 바꾼다는 하나의 무한 규칙에서 나온다. 각 행마다 다른 자리가 반드시 하나 존재한다는 전칭 주장이 증명을 완성한다.