끝난 경주 뒤에 시작된 새 경주
아킬레우스가 거북이를 따라잡은 뒤, 거북이는 전혀 다른 경주를 제안한다. 이번에는 달리기 거리가 아니라 논증의 빈칸을 건너는 경주다. 루이스 캐럴은 1895년 짧은 대화에서 전제들을 모두 받아들이면서도 결론으로 넘어가기를 거부하는 거북이를 등장시켰다. 아킬레우스는 필요한 문장을 하나씩 공책에 보태지만, 끝은 자꾸 멀어진다. 이 상상 장면이 묻는 것은 논리적 귀결과 실제 추론을 이어 주는 것이 무엇인가이다.
제논의 거북이와 캐럴의 거북이
이 글은 앞선 1회의 제논 역설을 제목과 등장인물로 빌려오지만 문제는 다르다. 제논의 아킬레우스는 공간을 무한히 나누면 운동을 어떻게 완수하는지를 묻는다. 캐럴의 아킬레우스는 전제에서 결론으로 가는 추론을 왜 한 단계로 끝낼 수 있는지를 묻는다. 하나는 거리와 시간의 무한 분할이고, 다른 하나는 추론 허가를 새 전제로 바꿀 때 생기는 무한 퇴행이다. 둘을 같은 수렴 문제로 풀 수는 없다.
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A, B, Z로 적은 짧은 논증
캐럴의 거북이는 유클리드 『원론』 제1명제에서 가져온 모양을 A, B, Z로 적게 한다. A는 같은 것과 같은 것들은 서로 같다는 일반 명제이고, B는 어떤 삼각형의 두 변이 같은 것과 각각 같다는 사례다. Z는 그 두 변이 서로 같다는 결론이다. 캐럴의 정확한 문장을 현대 기호로 단순화하면 A, B ⊢ Z라는 세 칸이 된다. 대화의 초점은 이 기하 명제의 증명이 아니라, 두 전제를 받아들인 사람이 결론을 받아들이도록 무엇이 이끄는가이다.
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전제의 참과 논증의 타당성
거북이는 두 질문을 갈라 놓는다. A와 B가 참인지 인정하는 일과, A와 B가 참이라면 Z가 따라온다는 연결을 인정하는 일은 서로 다르다. 전제가 모두 참이어도 추론 형식을 적용하지 않는 사람은 결론을 받아들이지 않을 수 있다. 반대로 추론이 타당하다는 점을 인정하면서도 실제 전제 하나를 거짓이라고 생각할 수 있다. 타당성은 전제가 실제로 참이라는 보장이 아니라, 전제들이 모두 참인 경우 결론이 거짓일 수 없다는 관계다.
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연결을 문장 C로 만들기
아킬레우스는 연결 자체를 C라는 새 전제로 적는다. C는 “A와 B가 참이라면 Z도 참이다”라는 조건문이다. 거북이는 A와 B뿐 아니라 C도 받아들이겠다고 한다. 여기까지 보면 빈칸이 메워진 듯하다. 그러나 C는 종이 위의 문장 하나일 뿐이다. A, B, C에서 Z로 실제로 넘어가려면 조건문의 앞부분을 받아들였을 때 뒷부분을 이끌어 내는 추론 규칙을 적용해야 한다.
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C까지 받아들여도 멈춰 선 거북이
거북이는 A, B, C를 모두 인정한 뒤에도 Z를 받아들이지 않겠다고 한다. 이 태도는 C를 거짓이라고 주장하는 것과 다르다. 그는 C라는 문장을 전제 목록에 넣되, 그 목록을 사용해 결론을 산출하는 행위를 하지 않는다. 아킬레우스는 문장을 더 주면 행동이 따라올 것이라 기대한다. 캐럴의 장치는 바로 이 기대를 시험한다. 규칙을 표현한 명제를 아는 일과 그 규칙에 따라 추론하는 일 사이에는 아직 구별할 자리가 남는다.
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이번에는 D를 보태기
아킬레우스는 다시 조건문 D를 제안한다. D는 “A, B, C가 모두 참이면 Z가 참이다”라는 문장이다. 거북이는 D도 공책에 쓰고 받아들인다. 이제 전제는 네 개가 되었다. 하지만 Z를 얻으려면 A, B, C, D에서 Z로 넘어가는 또 하나의 적용이 필요하다. 거북이가 그 적용을 다시 전제 문장으로 요구하면, 아킬레우스는 E를 적어야 한다. 새 문장은 앞선 목록을 더 길게 만들 뿐, 전제에서 결론으로 움직이는 행위 자체를 대신하지 못한다.
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공책이 끝없이 두꺼워지는 규칙
과정을 일반화하면 n번째 단계마다 “지금까지의 모든 전제가 참이면 Z가 참이다”라는 Cₙ을 보탠다. 전제 집합 Γₙ에 Cₙ을 추가하여 Γₙ₊₁을 만들지만, 거북이는 늘 Γₙ₊₁을 받아들이고 Z로의 이행만 미룬다. 캐럴의 이야기에서 조건문은 하나씩 늘어나며 공책을 채운다. 여기서 무한은 길이가 줄어드는 급수의 항들이 아니라, 추론 허가를 다시 명제로 적으라는 요구가 만들어 내는 끝없는 상위 단계다.
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전제를 더하면 왜 해결되지 않는가
어떤 유한한 단계에서 멈추어도 구조는 같다. 지금까지 적힌 전제들을 모두 P라는 하나의 묶음으로 보고 “P이면 Z”를 추가했다고 하자. 그래도 P와 “P이면 Z”에서 Z를 얻으려면 조건문 제거, 곧 전건 긍정식이라고 부르는 추론 규칙을 한 번 써야 한다. 거북이는 그 사용을 다시 문장으로 만들어 전제 목록에 넣으라고 요구한다. 따라서 문제의 원인이 규칙 적용인데 같은 종류의 문장 추가만 반복하면 원인을 건드리지 못한다.
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규칙과 전제는 맡은 일이 다르다
전제는 논증 안에서 참이라고 놓고 사용하는 문장이다. 추론 규칙은 어떤 문장 모양에서 어떤 문장 모양으로 옮겨 갈 수 있는지를 정하는 허가다. 예컨대 P와 P→Q를 전제로 가진 증명에서 Q를 얻는 규칙은 전건 긍정식, 또는 자연 연역의 조건문 제거 규칙이다. P→Q라는 문장과 “P, P→Q에서 Q로 옮겨 가라”는 규칙은 관련되지만 같은 역할을 하지 않는다. 캐럴의 퇴행은 둘을 모두 전제 칸에 밀어 넣을 때 선명해진다.
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증명에서는 규칙을 적용해 한 줄을 얻는다
현대의 형식 증명은 전제와 추론 규칙을 표시 방식부터 나눈다. 첫 줄에 P, 둘째 줄에 P→Q가 있으면 셋째 줄 Q 옆에 “→ 제거, 1·2”라고 근거를 적는다. 이 표시는 또 하나의 전제가 아니라, 정해진 증명 체계에서 1번과 2번 줄에 규칙을 적용했다는 기록이다. 모든 규칙 사용을 다시 논증 내부의 전제로 증명하라고 요구하지 않기 때문에 세 줄에서 멈춘다. 멈춤은 생략이 아니라 어떤 규칙을 기본 절차로 삼는지 명시한 결과다.
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논리적 귀결과 사람의 동의
Z가 A와 B의 논리적 귀결이라는 사실은 모든 사람이 실제로 Z를 믿게 된다는 심리 법칙이 아니다. 사람은 집중하지 않거나, 기호를 이해하지 못하거나, 완고하게 결론을 거부할 수 있다. 논리는 목을 잡아 억지로 믿게 하는 힘보다 올바른 추론의 기준을 제공한다. 캐럴의 거북이는 형식 관계를 깨뜨리는 반례를 제시한 것이 아니라, 관계에 관한 문장을 계속 들려주는 것만으로 규칙을 전혀 적용하지 않는 사람을 움직일 수 있는지 묻는다.
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규칙을 안다는 말의 두 층위
후대 논의에서는 규칙을 문장으로 알고 있다고 말하는 능력과, 실제 사례에서 그 규칙에 맞게 추론할 수 있는 능력을 구별한다. 자전거 타는 법을 설명하는 문장만 외워서는 곧바로 탈 수 없는 것과 비슷하지만, 논리 규칙은 단순한 신체 기술과도 다르다. 중요한 점은 명제 지식 하나를 더 보태는 방식이 모든 규칙 적용을 설명하지 못한다는 것이다. 어떤 설명이든 추론 능력, 합리적 인식, 관행 또는 기본 규칙 가운데 무엇이 마지막 이행을 담당하는지 밝혀야 한다.
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퇴행을 멈추는 여러 설명
캐럴 이후 철학자들은 한 가지 해법에 합의하지 않았다. 어떤 견해는 기본 추론 규칙을 더 증명할 필요 없이 따를 수 있는 능력으로 보고, 다른 견해는 전제가 결론을 지지한다고 파악하는 합리적 태도를 강조한다. 또 형식 논리에서는 증명 체계를 구성할 때 허용할 규칙을 명시하고, 그 체계의 건전성은 별도의 메타 수준에서 연구한다. 공통된 교훈은 적용 규칙을 같은 논증의 전제로만 되돌려 보내는 설명은 퇴행을 멈추지 못한다는 점이다.
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새 규칙을 채택하는 문제로 이어지다
이 역설은 낯선 기본 규칙을 단지 문장으로 배워 채택할 수 있는가라는 질문으로도 이어진다. 어떤 사람이 전건 긍정식을 이미 적용할 수 있다면 규칙 설명은 그 능력을 정리해 줄 수 있다. 전혀 적용할 수 없다면 “P이고 P이면 Q이므로 Q”라는 설명 자체를 이해하고 실행하는 데 바로 그 규칙이 필요해 보인다. 이를 논리 규칙의 채택 문제라고 부른다. 다만 이 문제는 캐럴의 원문이 직접 제시한 결론이라기보다, 원문의 퇴행을 확장한 현대 논쟁이다.
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문장 목록에서 추론으로
캐럴의 거북이는 논리를 무너뜨린 것이 아니라 논증의 두 요소를 갈라 보였다. 참이라고 놓는 전제들의 목록과, 그 목록에서 결론을 산출하는 규칙의 적용은 서로 다른 일을 한다. A와 B 뒤에 C, D, E를 끝없이 보태도 규칙을 실제로 쓰지 않으면 Z는 공책의 다음 줄에 나타나지 않는다. 그래서 좋은 증명은 전제를 분명히 적는 동시에 어느 규칙을 어디에 적용했는지도 밝힌다. 다음 회차에서는 “예고하지 않은 시험”이라는 발표가 스스로의 가능성을 흔드는 지식과 예측의 역설로 넘어간다.
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