사진 속 화살은 멈추어 있는가

활시위를 떠난 화살을 아주 짧은 노출로 찍으면 공중에 멈춘 듯한 사진이 남는다. 사진 안에서 화살촉은 한곳을 가리키고, 깃도 흐리지 않다. 그렇다면 사진이 포착한 그 순간에 화살은 움직였을까, 멈추었을까? 우리는 곧바로 ‘사진 앞과 뒤에는 다른 곳에 있었으니 움직였다’고 답하고 싶다. 그러나 제논의 화살은 바로 그 앞과 뒤를 잠시 치워 버린다. 오직 한순간만 놓고 보아도 그 순간의 화살에 운동을 말할 수 있는가? 이번에는 한순간의 위치와 운동을 어떤 기준으로 설명할 수 있는지 살펴본다.

문단 자료[1][3]

왜 한순간을 문제 삼았을까

엘레아의 제논이 활동한 기원전 5세기 그리스 철학에서는 변화와 운동이 참으로 가능한지, 연속적인 길이와 시간이 무엇으로 이루어지는지가 중요한 문제였다. 제논의 글은 온전히 남지 않았고, 운동에 관한 네 논변은 주로 아리스토텔레스의 『자연학』을 통해 전해진다. 화살 논변도 아리스토텔레스가 요약하고 비판한 기록을 통해 읽는다. 그러므로 오늘의 사진이나 좌표를 제논이 사용했다고 말할 수는 없다. 다만 ‘시간이 순간들로 이루어진다면 운동은 어디에 있는가’라는 오래된 물음을 현대의 사진과 그래프로 다시 펼쳐 볼 수 있다.

문단 자료[1][2][3]

아리스토텔레스가 전하는 화살 논변을 짧게 배열하면 이렇다. 화살은 어떤 ‘지금’에도 자기와 같은 크기의 공간을 차지한다. 이때 논변은 자기와 같은 크기의 공간을 차지하는 것은 그 순간 정지해 있다고 가정한다. 시간 전체가 그런 ‘지금’들로만 이루어져 있다면, 어느 ‘지금’에도 움직이지 않는 화살이 전체 시간에서 움직일 수 없다는 결론이 나온다. 여기에는 두 연결이 숨어 있다. 정확한 위치를 갖는다는 것에서 정지했다는 판단으로 넘어가는 연결, 그리고 각 순간의 판단을 전체 구간의 판단으로 합치는 연결이다. 역설을 푸는 일은 어느 연결에 무엇이 더 필요한지 살피는 일이다.

문단 자료[1][3]

먼저 ‘그 자리에 있다’와 ‘그 자리에 머문다’를 구별하자. 위치는 한 시각에 물체가 어디에 있는지를 말한다. 일정 시간 동안 정지해 있었다는 것은 그 구간에서 위치가 변하지 않았다는 말이다. 예를 들어 12시 정각에 서울역에 있었다는 사실만으로 11시 59분부터 그곳에 서 있었다고 결론 내릴 수는 없다. 막 도착했을 수도 있고 곧 떠날 수도 있다. 한 시각의 위치는 한 점의 정보이고, 일정 구간의 정지는 여러 시각의 위치를 비교한 관계다. 화살이 순간마다 정확한 위치를 갖는다는 사실은 운동 설명에 필요한 자료이지만, 그것만으로 속도가 0이라고 정해지지는 않는다.

문단 자료[3]

사진 한 장과 수학적 순간은 다르다

카메라의 사진은 실제로 0초짜리 순간을 담지 않는다. 셔터가 열려 있는 아주 짧은 시간 동안 들어온 빛을 모아 한 장으로 만든다. 노출 시간이 짧고 화살의 이동량이 작으면 날카롭게 보이고, 노출 시간이 길면 이동 흔적이 길게 번질 수 있다. 따라서 선명한 사진은 노출 구간 동안 기록된 이동이 작다는 사실을 보여 준다. 속도를 판단하려면 노출 시간과 위치 변화에 관한 자료가 더 필요하다. 사진은 시간 구간을 압축한 기록이고, 수학적 순간은 지속 시간이 없는 하나의 시각이다. 이 차이를 놓치면 사진의 선명함을 곧 정지의 증거로 오해하게 된다.

운동을 좌표로 표현해 보자. 화살의 위치를 시간의 함수 x(t)라고 쓰면, t가 달라질 때 x(t)도 달라지는 것이 이동이다. 0초에는 0미터, 1초에는 10미터, 2초에는 20미터에 있는 화살을 생각하자. 각 시각에는 위치가 하나씩 정확히 정해져 있지만, 위치의 목록은 시간에 따라 꾸준히 달라진다. 한 시각에 한 위치를 갖는 일과 여러 시각에 걸쳐 위치가 변하는 일은 함께 성립한다. 위치가 정해져 있어야 오히려 어느 방향으로 얼마나 움직였는지를 비교할 수 있다. 각 시각의 정확한 위치는 운동을 설명하는 기초 자료가 된다.

문단 자료[4]

그렇다면 한순간의 속도는 어떻게 말할까? 어떤 시간 구간에서의 평균속도는 위치 변화량을 걸린 시간으로 나눈 값이다. 하지만 지속 시간이 0인 한순간에 그대로 대입하면 이동거리도 0, 시간도 0이어서 0/0이 된다. 0/0은 값이 정의되지 않는 식이다. 현대 수학은 순간을 둘러싼 시간 구간을 점점 짧게 줄이면서 평균속도가 어떤 값에 가까워지는지 본다. 그 비율이 하나의 유한한 값으로 가까워질 때, 그 극한값을 순간속도라고 한다. ‘0초 동안 0미터 갔다’에서 ‘속도 0’은 나오지 않는다. 필요한 것은 그 순간 가까이에서 위치가 어떻게 변하는지에 관한 정보다.

문단 자료[3][4]

그래프에서는 이 생각이 기울기로 보인다. 멀리 떨어진 두 시각을 잇는 선은 그 구간의 평균속도를 나타낸다. 한 점을 기준점에 고정하고 다른 점을 가까이 가져오면 연결선의 기울기가 점점 한 값에 가까워진다. 위치가 x(t)=t²인 물체를 t=2초에서 살펴보면, 앞뒤의 짧은 구간에서 계산한 평균속도는 4미터/초에 가까워진다. 그 순간 물체의 위치는 정확히 4미터이고, 순간속도도 4미터/초라고 말할 수 있다. 위치는 어디에 있는지, 속도는 얼마나 빠르게 어느 방향으로 움직이는지에 답한다.

문단 자료[3]

화살은 언제 움직이는가

현대의 한 가지 표준 설명에서는 화살이 t₁에 x₁, t₂에 x₂, 그 사이의 각 시각에는 그에 맞는 중간 위치를 차지하는 것이 곧 운동이다. 이를 흔히 ‘시각마다 그곳에 있음’이라는 방식으로 설명한다. 이때 화살은 어느 순간에도 두 장소를 동시에 차지할 필요가 없다. 시간에 따른 위치의 질서가 운동을 이룬다. 여기서도 운동의 본질에 관한 철학적 질문은 이어진다. 순간속도가 주변 시각의 정보에 의존한다면 그것은 그 순간에 내재한 성질인지, 주변 시각의 위치 변화에 의해 정해지는 관계적 성질인지 논의할 여지가 있다. 운동을 계산하는 방법과 운동이 무엇인지를 묻는 존재론은 서로 다른 질문을 다룬다.

문단 자료[3]

아리스토텔레스의 응답도 단순히 ‘화살은 실제로 날아가니 제논이 틀렸다’는 데서 끝나지 않는다. 그는 연속적인 시간이 분할 불가능한 ‘지금’들을 부분으로 삼아 구성된다는 가정을 거부했다. 또한 『자연학』 6권 3장에서 운동과 정지는 모두 시간을 차지한다고 논했다. ‘지금’은 앞선 시간과 뒤의 시간을 가르는 경계이므로, 그 하나 안에서는 운동도 정지도 성립하지 않는다고 보았다. 현대의 극한과 같은 설명은 아니지만, 순간을 작은 시간 조각처럼 취급해 전체 운동을 조립하는 방식 자체를 문제 삼았다는 점에서 화살 논변의 숨은 전제를 정확히 겨냥한다.

문단 자료[1]

경기장에서는 기준이 움직인다

제논의 네 번째 운동 논변은 경기장의 움직이는 열로 전해진다. 같은 크기의 물체들이 같은 수만큼 세 줄로 놓였다고 하자. A열은 경기장에 정지해 있다. B열은 오른쪽으로, C열은 왼쪽으로 같은 빠르기로 움직인다. 아리스토텔레스의 설명에는 A·B·C로 표시한 배열이 나오지만, 그 서술이 압축되어 있어 초기 배치와 논증의 세부를 어떻게 재구성할지는 논쟁이 있다. 널리 쓰이는 해석에서는 B 하나가 같은 시간 동안 A보다 C의 물체를 두 배 많이 지나친다. 같은 크기의 물체 하나를 지나는 시간이 언제나 같다면 두 배 많이 통과한 쪽에는 두 배의 시간이 걸려야 한다. 그러나 두 통과는 동시에 시작해 동시에 끝난다. 어떻게 같은 시간이 자신의 두 배와 같을 수 있을까?

문단 자료[1][3]

기준을 표시하면 수수께끼가 풀리기 시작한다. 경기장에 고정된 A를 기준으로 B가 초속 1미터 오른쪽으로 간다고 하자. 같은 1초 동안 B는 A에 대해 1미터 움직인다. C도 A에 대해 초속 1미터 왼쪽으로 오므로, B와 C 사이의 거리는 1초에 2미터씩 줄어든다. 따라서 B를 기준으로 보면 C는 초속 2미터로 다가온다. 같은 1초 동안 A에 대해서는 1미터, C에 대해서는 2미터를 지나간다. 거리가 두 배가 된 대신 상대속도도 두 배이므로 시간은 여전히 1초다.

문단 자료[1][3]

‘같은 속도’라는 말에도 기준이 필요하다. B와 C는 둘 다 A에 대해서는 속력 1미터/초다. 하지만 B에 대한 C의 속도는 왼쪽 2미터/초이고, C에 대한 B의 속도는 오른쪽 2미터/초다. 아리스토텔레스는 움직이는 물체를 지나치는 시간과 같은 크기의 정지한 물체를 지나치는 시간을 같다고 놓은 데 오류가 있다고 지적했다. 속도에는 ‘무엇에 대하여’가 생략되어 있다. 서로 다른 기준에서 얻은 거리와 속도를 한 식에 넣으면, 반과 두 배가 같은 것처럼 보이는 가짜 모순을 만들 수 있다.

문단 자료[1][3]

다만 경기장 논변을 ‘제논이 상대속도를 몰랐다’는 한 문장으로 확정해서는 곤란하다. 아리스토텔레스의 보고는 압축되어 있고, 연구자들은 제논이 연속적인 시공간을 겨냥했는지, 분할 불가능한 최소 단위를 가정한 상대를 겨냥했는지 서로 다른 재구성을 제안해 왔다. 스탠퍼드 철학백과도 통상적 상대속도 해설을 소개한 뒤 다른 해석 가능성을 함께 다룬다. 우리가 확실히 배울 수 있는 것은 비교 기준을 적지 않으면 거리·속도·통과 개수의 관계가 흐려진다는 점이다. 역사적 의도에 관한 해석과 현대의 계산상 해결은 구분해 두어야 한다.

문단 자료[3]

오래된 질문이 남긴 두 개의 자

화살과 경기장은 서로 다른 도구를 건넨다. 화살은 위치를 재는 자 옆에 시간 변화의 자를 놓으라고 요구한다. 경기장은 거리와 속도를 적을 때 비교 대상을 함께 쓰라고 요구한다. ‘이 순간 어디에 있는가’와 ‘이 순간 얼마나 빠른가’, ‘A에 대한 속도’와 ‘C에 대한 속도’는 각각 다른 칸에 적어야 한다. 고전역학은 위치 함수와 순간속도, 기준에 따른 상대속도를 구별하여 운동을 기술한다. 동시에 실제 시공간이 연속적인지, 순간속도가 어떤 종류의 성질인지에 관한 철학적 논의는 남는다. 역설은 질문의 단위를 더 정확히 살피게 한다.

문단 자료[3][4]

마지막으로 짧은 장면을 판정해 보자. 화면 A에는 정확히 12시의 화살 위치 하나만 있다. 화면 B에는 11시 59분 59.9초와 12시의 위치가 함께 있다. 화면 C에는 같은 1초 동안 B가 A열에 대해 1미터, C열에 대해 2미터 지나갔다고 적혀 있다. A만으로는 속도를 정할 수 없다. B에서는 위치 변화와 시간 차이로 평균속도를 구할 수 있다. C의 두 거리는 기준이 다르므로 함께 성립한다. 움직임을 읽을 때는 ‘언제’, ‘얼마 동안’, ‘무엇을 기준으로’를 먼저 적자. 사진 속 화살은 한곳에 보이지만, 그 한 장만으로 멈춤을 판결할 수는 없다.