표시등이 꺼졌으니 연결되지 않았다고 말해도 될까?

1. 조건문은 한 방향 규칙입니다

P를 ‘연결됨’, Q를 ‘표시등 켜짐’이라고 하면 규칙은 P→Q입니다. 이 규칙이 거짓인 경우는 연결됐는데 표시등이 꺼진 P 참·Q 거짓 한 경우뿐입니다.

forall x: Calgary는 물질조건문이 전건 참·후건 거짓일 때만 거짓이며, 전건과 후건을 바꾸면 다른 진리표가 된다고 설명합니다. 따라서 한 방향 표지를 두 방향 보증으로 읽으면 안 됩니다.

참고: P. D. Magnus 외 · Open Logic Project · forall x: Calgary, Chapter 9: Characteristic truth tables

2. 표시등 꺼짐에서는 대우가 성립합니다

Q가 거짓이라고 관찰하면 P 참·Q 거짓 행은 규칙 때문에 제거됩니다. 남은 행은 P 거짓·Q 거짓 하나이므로 ‘연결되지 않았다’가 따라옵니다.

이 추론은 P→Q와 ¬Q에서 ¬P를 얻는 대우 방향입니다. 실제 장치에서는 표시등 고장이라는 예외가 있을 수 있으므로, 현장 진단에 옮길 때는 원래 규칙이 정말 예외 없는지 먼저 확인합니다.

참고: P. D. Magnus 외 · Open Logic Project · forall x: Calgary, Chapter 11: Complete truth tables

3. 표시등 켜짐만으로 연결을 확정하면 비약입니다

Q가 참일 때는 P 참·Q 참뿐 아니라 P 거짓·Q 참도 조건문과 양립합니다. 다른 전원 때문에 표시등만 켜진 가상 경우가 반례입니다. Q에서 P를 얻는 후건 긍정은 한 방향 규칙만으로 성립하지 않습니다.

마찬가지로 P가 거짓이어도 Q는 켜지거나 꺼질 수 있습니다. P가 아니므로 Q도 아니라고 하면 전건 부정의 오류가 됩니다. 활동은 남은 모든 행에 공통인 값만 필연 결론으로 표시합니다.

4. 필요충분 규칙이면 가능한 경우가 더 줄어듭니다

‘연결될 때, 그리고 그때만 표시등이 켜진다’는 P↔Q입니다. 이때는 두 상태가 같아야 하므로 연결·켜짐과 미연결·꺼짐 두 경우만 남습니다. 표시등 켜짐에서도 연결을 확정할 수 있습니다.

규칙 문구가 한 방향인지 두 방향인지가 결론을 바꿉니다. 실제 안내문에서 ‘이면’, ‘오직 ~일 때’, ‘필요하고 충분하다’를 함부로 바꾸지 말아야 하는 이유입니다.

참고: P. D. Magnus 외 · Open Logic Project · forall x: Calgary, Chapter 9: Characteristic truth tables