두 게임의 결과가 같아도, 상대에게 남기는 선택권은 다를까요?

경기에서 나올 수 있는 결과가 p·q·r 세 가지라고 정하겠습니다. 두 방식 모두 이 세 결과를 만들 수 있습니다. 그러나 한 선수가 무엇을 먼저 고르고, 다른 선수에게 어떤 결과를 남겨 주는지까지 같지는 않을 수 있습니다.

논문의 예 2.1에는 두 선수 A와 E가 등장합니다. 같은 결과 알파벳을 가진 G₁과 G₂의 게임 나무를 비교하며, '같다'고 판단할 기준을 세 가지 층위로 나눕니다.

G₁에서 A가 왼쪽을 고르면 곧바로 p로 끝납니다. 오른쪽을 고르면 E가 q 또는 r을 선택합니다. 그러므로 A가 확실히 한 결과 p를 만들 수 있는 전략과, q·r 가운데 E에게 선택권을 남기는 전략이 있습니다.

A의 두 전략은 정확히 {p}와 {q,r}을 남깁니다. '정확히'라는 말이 중요합니다. 오른쪽을 고른 A는 p라는 결과를 허용하지 않았습니다.

G₂에서는 E가 먼저 왼쪽 또는 오른쪽 갈래를 고릅니다. 어느 갈래에 있든 A는 두 결과 중 하나를 고릅니다. 왼쪽 갈래에서는 p·q, 오른쪽 갈래에서는 p·r이 가능합니다.

논문 도해에서 A에게는 네 가지 전체 전략이 있습니다. 그중 어떤 전략은 p만, 어떤 전략은 q·r을, 나머지는 {p,q}와 {p,r}을 남깁니다. 모든 전략은 실제 도달 갈래 이외의 선택도 포함할 수 있습니다.

한 선수 A의 전략 σ를 고정하고 E의 합법적인 선택을 모두 열어 둡니다. 그렇게 생기는 완성된 경기들의 결과 집합을 정확히 적습니다. 이 결과 집합이 '기본 능력'(basic power)의 출발점입니다.

논문의 정의 2.2는 B_A(G)에 넣을 집합 X를 X={o(m) | m은 σ를 따르는 완성 경기}로 정의합니다. 가능성이 있는 결과만 골라 적거나 임의의 상위 집합으로 부풀리지 않습니다.

첫 전략은 왼쪽입니다. E가 결정할 틈 없이 p에서 끝나므로 결과 집합 X₁={p}입니다. 둘째 전략은 오른쪽입니다. E가 q 또는 r을 고르므로 X₂={q,r}입니다.

따라서 B_A(G₁)={{p},{q,r}}입니다. 여기에서 {p,q}를 추가하면 이미 정한 A의 전략 하나만으로는 두 결과를 정확히 남길 수 있다는 잘못된 주장이 됩니다.

G₂에서 A는 두 갈래 각각에서 자기 선택을 미리 정할 수 있습니다. 논문의 예 2.3대로 네 전략을 모으면 정확히 {p}, {p,q}, {p,r}, {q,r} 네 기본 능력이 나옵니다.

특히 {p,q}를 남기는 전략은 A가 결과를 한 개로 고정한 경우가 아닙니다. E가 실제로 p 또는 q 가운데 하나를 결정할 권한이 남습니다. 바로 이 점 때문에 두 게임의 차이가 생깁니다.

게임의 등가성을 두 선수 전체에 관해 정의하므로 E도 확인합니다. 원문 계산에 따르면 G₁과 G₂의 E 기본 능력은 똑같이 {{p,q},{p,r}}입니다.

두 게임에서 A의 기본 능력이 다르기 때문에 전체 기본 능력 등가성은 성립하지 않습니다. 선수 한 명의 결과만 비교하면서 두 선수 게임 전체가 같다고 발표하면 정의 2.4의 양화 범위를 좁혀 버립니다.

기존 능력(power)은 한 전략이 결과를 어떤 집합 X 안으로 반드시 묶을 수 있으면, 더 큰 집합 Y에도 묶을 수 있다고 봅니다. 이 '위로 닫힘'(상위 집합 보존) 규칙 때문에 {p}에서 {p,q}도 보장 가능한 넓은 집합으로 취급됩니다.

G₁의 A가 실제로 p 또는 q의 선택권을 E에게 남긴다는 뜻은 아닙니다. 결과를 포함하는 집합을 보장할 수 있다는 약한 의미만 보존한 것이므로, G₁과 G₂는 기존 능력 등가이지만 기본 능력 등가는 아닙니다.

전제 1: 두 게임의 결과 집합은 O={p,q,r}입니다. 전제 2: 두 선수의 전략에 대해 기본 능력은 상대의 모든 반응을 열어 둔 정확한 결과 집합입니다. 전제 3: G₁의 A 집합에는 {p,q}가 없고 G₂에는 있습니다.

결론: B_A(G₁)≠B_A(G₂). 정의 2.4는 모든 선수의 기본 능력 일치를 요구하므로 G₁과 G₂는 기본 능력 등가가 아닙니다. E 집합이 같다는 사실도 이 불일치를 해소하지 못합니다.

A의 한 전략이 허용하는 결과 집합 X와 E의 한 전략이 허용하는 집합 Y를 고르면, 두 전략을 함께 실행했을 때 어떤 완성 경기 결과가 하나 나옵니다. 이 결과는 X에도 Y에도 속합니다.

그래서 X∩Y는 비어 있을 수 없습니다. 이 조건을 원문은 '일관성'(Consistency)으로 부릅니다. 이는 서로 원하는 결과가 같다는 뜻이 아니라 두 전략의 실제 조합 결과가 두 집합의 공통 원소라는 뜻입니다.

기본 능력 X의 구성 원소 x마다, 상대가 적절한 전략으로 그 x를 실현할 수 있어야 합니다. '남겨 두었다'는 표현은 그 선택지를 단지 위로 부풀린 집합에 적어 두었다는 뜻과 다릅니다.

원전은 이 성질을 '소진성'(Exhaustiveness)으로 다룹니다. 예를 들어 G₁의 {q,r}에서는 E가 q를 고를 수도 있고 r을 고를 수도 있습니다. {p} 안에서 E가 q를 고를 수 있다고 주장하면 오류입니다.

원문은 기본 능력의 비공집합성, 상대 선수와의 일관성, 각 원소 실현 가능성을 정리해 추상 집합족이 불완전 정보 게임으로 표현될 수 있는 조건을 연구합니다.

여기서는 O={p,q,r}에서 조건이 왜 필요한지 확인할 뿐, 임의의 무한 집합이나 복잡한 정보 구조에 관한 표현 정리를 이 작은 표 하나로 증명하지 않습니다.

논문은 어떤 전략이 남겨 두는 결과 집합 속에 모든 가능한 결과에 공통인 성질과 각 결과가 적어도 하나씩 실현하는 성질을 함께 표시하는 양상 언어를 구성합니다.

기존의 '이 집합 안에 넣을 수 있다'는 문장보다 세밀한 정보를 기록하기 때문에 G₁과 G₂를 구별하는 문장을 만들 수 있습니다. 논문은 이 언어의 건전성과 완전성을 별도의 형식 증명으로 제시합니다.

게임 두 개를 잇는 순차 합성을 다룰 때 단일 행동을 돌려주는 함수형 전략만으로는 기본 능력의 관계가 안정적으로 보존되지 않는 문제가 있습니다. 논문은 이를 구체 게임 연산으로 검토합니다.

이어지는 형식 이론에서는 가능한 행동 관계를 허용하는 관계형 전략을 도입해 연산에 대한 합동성을 얻습니다. 처음의 단순한 G₁/G₂ 비교와 이 일반 대수 정리를 같은 주장으로 축소하지 않습니다.

먼저 무엇을 보존해야 같은 시스템이라고 부를지 정합니다. 최종 결과만 보존할지, 각 참가자에게 남는 정확한 선택권까지 보존할지에 따라 등가 판정이 달라집니다. 두 게임의 p·q·r 예에서 그 차이를 직접 확인했습니다.

원전의 정리는 선호도와 보수, 모든 종류의 균형 및 반복 연산까지 한꺼번에 해결하지 않습니다. 특히 반복을 포함하는 논리의 결정가능성 주장은 부록의 제한된 결과와 구분합니다. 이 글의 버튼은 두 유한 게임을 비교하는 교육용 도구입니다.