“키가 크고 빠르다”의 정도는 어떻게 계산할까요?

“키가 크다”와 “빠르다”라는 두 문장을 “그리고”로 묶을 때, 각 문장의 정도와 전체 문장의 정도 사이에 어떤 규칙을 둘지 정해야 합니다. 하예크가 설명하는 수학적 퍼지 논리는 이런 규칙과 그 규칙으로 성립하는 추론을 연구합니다.

예를 들어 두 정도가 0.7과 0.6일 때 작은 쪽을 취하면 0.6, 곱하면 0.42가 됩니다. 각각의 계산 규칙에서 어떤 문장이 항상 성립하는지, 그 문장을 공리와 증명 규칙으로 얻을 수 있는지가 논리학의 질문입니다.

원문이 다루는 퍼지 논리는 결합사의 값이 구성 문장의 값들로 정해지는 진리함수적 체계입니다. 확률은 일반적으로 P(A∧B)가 P(A)와 P(B)만으로 정해지지 않습니다.

따라서 “키가 크다”의 정도와 “비가 올 확률”을 같은 숫자라는 이유만으로 한 의미로 읽으면 안 됩니다. 모호성의 정도와 불확실성의 확률은 다른 모형입니다.

t-노름 *는 [0,1] 위의 이항 연산으로, 교환법칙과 결합법칙을 만족하고 각 입력에 단조이며 1을 단위원으로 가집니다. 0은 영원소가 됩니다.

연언 A&B의 진리 정도를 x*y로 계산하는 후보입니다. 최소, 곱, Łukasiewicz의 max(0,x+y−1)가 대표적인 연속 t-노름입니다.

[0,1]은 0부터 1까지의 실수 전체를 뜻합니다. 0.7과 0.6도 여기에 들어갑니다. t-노름은 이 구간의 두 수를 받아 같은 구간의 한 수를 내놓는 연산입니다. “그리고”를 해석할 때 순서를 바꾸어도 결과가 같고, 한쪽 조건의 정도가 높아지면 결합한 정도가 낮아지지 않도록 요구합니다.

Gödel t-노름은 min(x,y), product는 xy, Łukasiewicz는 max(0,x+y−1)입니다. 같은 두 값도 연언 결과가 달라집니다.

아래 활동에서 x=0.7, y=0.6을 넣으면 각각 0.6, 0.42, 0.3이 됩니다. 어느 규칙이 맞는지는 모델링하려는 연언의 뜻과 선택한 논리에 달려 있습니다.

좌연속 t-노름에는 x⇒y=max{z | x*z≤y}로 정의되는 residuum이 있습니다. x와 어떤 z를 함께 참으로 두어도 y를 넘지 않게 하는 가장 큰 z를 함의의 값으로 잡습니다.

이 adjoint 관계 z≤(x⇒y) iff x*z≤y가 연언과 함의를 맞물리게 합니다. 하예크는 이 함의의 좋은 논리적 성질을 강조합니다.

BL은 강한 연언 &, 함의 →, 거짓과 참 상수에서 출발하고 다른 결합사를 정의합니다. 공리들과 modus ponens가 증명 체계를 이룹니다.

하나의 특정 t-노름만 고르는 대신 모든 연속 t-노름에 공통으로 타당한 식을 포착합니다. 특정 t-노름의 논리는 BL에 추가 공리를 더해 얻습니다.

BL에서 증명되는 식과 모든 연속 t-노름 대수 [0,1]*에서 값 1을 갖는 식이 정확히 일치합니다. 이를 표준 BL-완전성으로 읽습니다.

완전성은 모든 문장이 증명된다는 뜻이 아닙니다. 선택한 의미론에서 항상 1인 식을 증명 체계가 빠짐없이 잡는다는 뜻입니다.

표준 의미론은 진리 정도의 바닥을 실수 구간 [0,1]과 특정 t-노름으로 둡니다. 일반 의미론은 표준 대수들이 생성하는 다양한 대수 구조에서 식을 평가합니다.

BL의 일반 의미론은 prelinear residuated lattice인 BL-대수로 표현됩니다. 부분순서 대수를 허용해도 논리 자체의 타당식은 바뀌지 않습니다.

모든 BL-대수가 선형으로 정렬되는 것은 아닙니다. 하지만 각 BL-대수는 선형 순서 BL-chain들의 직접곱 안에서 부분대수로 표현될 수 있습니다.

이 subdirect representation 덕분에 부분순서 진리 구조를 허용하면서도 선형 사슬의 분석을 활용할 수 있습니다.

잔여 함의를 가지는 데는 완전한 연속성보다 좌연속성이 핵심입니다. MTL은 모든 좌연속 t-노름을 다루며 BL보다 더 넓은 기반 논리를 제공합니다.

MTL에서는 격자 meet가 *와 ⇒만으로 정의되지 않아 기본 연산에 따로 들어갑니다. 조건을 완화하면 언어와 공리도 함께 조정됩니다.

언어에 각 유리수 r의 진리상수 r̄를 넣으면 “φ의 정도가 적어도 r” 같은 경계를 식 안에서 표현할 수 있습니다. bookkeeping 공리가 수치 연산과 결합사 값을 맞춥니다.

아래 활동은 정확한 값 주장과 하한 주장을 구분합니다. 수치를 붙였다고 측정 근거가 자동으로 생기지는 않습니다.

퍼지 관계 P는 대상 튜플마다 [0,1] 값을 줍니다. ∀x φ(x)의 값은 모든 사례 값의 infimum, ∃x φ(x)의 값은 supremum으로 정의됩니다.

개체가 여러 개인 모형에서 가장 낮은 적용 정도와 가장 높은 적용 정도를 각각 전칭과 존재의 값으로 읽는 셈입니다. 정의역과 극값 존재 조건을 함께 살펴야 합니다.

대상이 세 개이고 P의 값이 0.2, 0.6, 0.9라면 “모두 P다”의 값은 가장 작은 0.2, “어떤 대상은 P다”의 값은 가장 큰 0.9입니다. 대상이 무한히 많을 때는 최솟값·최댓값이 실제로 없어도 하한과 상한으로 값을 정할 수 있습니다.

그렇지 않습니다. 하예크는 BL∀의 표준 타당식 집합이 산술적이지 않을 만큼 복잡해 표준 완전성이 실패한다고 설명합니다. 반면 일반 의미론에 대한 공리화는 유지됩니다.

Łukasiewicz 술어논리와 유리 진리상수에서는 증명 정도와 진리 정도가 일치하는 Pavelka 완전성이 성립하지만, 이것도 식 자체의 표준 증명가능성과 같은 말은 아닙니다.

논리는 선택한 t-노름과 진리값 해석 아래의 추론을 분석합니다. “따뜻하다 0.7” 같은 입력값을 어떻게 측정했는지까지 논리 자체가 정해 주지는 않습니다.

응용에서는 소속함수, 자료, 전문가 합의와 민감도 분석이 따로 필요합니다. 서로 다른 t-노름에서 결론이 얼마나 달라지는지도 공개해야 합니다.

가능합니다. [0,1]의 값을 t-노름과 잔여 함의로 계산하고, BL·MTL 같은 공리계와 대수 의미론을 세우면 연속적 진리 정도를 증명 규칙으로 다룰 수 있습니다.

다만 명제논리와 술어논리, 표준과 일반 의미론, 퍼지 정도와 확률을 구분해야 합니다. 응용값의 측정 근거와 선택한 t-노름도 형식 체계 밖에서 설명해야 합니다.