모순이 하나 있어도, 모든 말이 참이 되어야 할까요?

고전논리에는 흔히 폭발 원리라고 부르는 추론이 있습니다. A와 ¬A를 전제로 두면 임의의 B를 도출할 수 있습니다. 한 가지 익숙한 경로는 A에서 A∨B를 얻고, ¬A와 함께 선택지를 제거해 B로 가는 것입니다.

그러나 다 코스타의 C₁은 이 연결을 일반적으로 허용하지 않습니다. 논문의 정리 2는 ¬A → (A → B), A∧¬A → B, ¬(A∧¬A) 같은 도식이 C₁에서 타당하지 않다고 명시합니다.

아래 모형의 자료는 ‘서버는 작동한다’와 ‘서버는 작동하지 않는다’라는 충돌입니다. 목표 문장은 ‘서울에 비가 온다’입니다. 두 문장 사이에는 추가 규칙이 없습니다. 따라서 모순허용 모드에서는 목표 문장이 따라오지 않습니다.

고전 폭발 스위치를 켜면 결과가 바뀝니다. 이때 목표가 참이라는 경험적 증거가 새로 생긴 것은 아닙니다. 오직 A, ¬A ⊢ B라는 추론 경로가 허용되었기 때문입니다.

원문은 Cₙ 계열에 네 가지 조건을 둡니다. 첫째, ¬(A∧¬A)가 무조건 타당한 도식이어서는 안 됩니다. 둘째, A와 ¬A에서 임의의 B를 일반적으로 도출할 수 없어야 합니다.

셋째, 일차 술어논리와 등호가 있는 체계로 확장하기 쉬워야 합니다. 넷째, 앞의 조건을 방해하지 않는 한 고전 명제논리의 도식과 규칙을 최대한 많이 보존해야 합니다. 논문은 셋째와 넷째 조건이 모호하다고 스스로 덧붙입니다. 즉 ‘고전논리를 모두 버리기’가 아니라 필요한 곳을 선별해 바꾸기가 설계 방향입니다.

C₁은 함의 →, 논리곱 ∧, 논리합 ∨에 관한 고전 명제논리의 긍정 부분을 넓게 보존합니다. A∨¬A와 ¬¬A→A도 공리 목록에 들어갑니다. 모든 것이 희미한 다치판단으로 바뀌는 체계라고 생각하면 정확하지 않습니다.

변화의 중심은 부정이 다른 연결사와 작동하는 방식입니다. 전통적인 귀류법과 대우, 모순에서의 폭발은 아무 조건 없이 쓰이지 않습니다. 다 코스타는 대신 식이 ‘잘 행동하는가’를 표시하는 장치를 도입합니다.

원문은 A°를 ¬(A∧¬A)의 줄임말로 둡니다. ‘A가 참이다’라는 표시가 아니라, A와 ¬A가 함께 성립하는 경우를 부정한다는 식입니다. 후대의 ‘형식적 비일관성의 논리’에서는 이런 표시를 일관성 연산자로 읽습니다.

중요한 점은 모든 A에 A°가 자동으로 붙지 않는다는 것입니다. 그것을 자동으로 주면 다시 무조건적 비모순으로 돌아갑니다. 아래에서 A, ¬A, A°의 유무를 바꾸어 보세요.

예를 들어 B°를 알고 있고, 가정 A에서 B와 ¬B를 모두 얻는다면 ¬A로 갈 수 있습니다. 귀류법을 없앤 것이 아니라, 충돌의 대상 B가 일관적이라는 조건을 요구합니다.

또 A°와 B°에서 (A∧B)°, (A∨B)°, (A→B)°를 얻는 공리들이 있습니다. 원자식의 일관성 정보를 복합식으로 전파할 수 있게 한 것입니다.

동그라미를 거듭 붙이면 ‘A의 일관성’, ‘A의 일관성의 일관성’처럼 층위를 만들 수 있습니다. 원문은 A¹=A°, A²=(A°)°처럼 반복하고, 앞선 층들을 함께 묶은 A⁽ⁿ⁾을 사용해 Cₙ의 공리를 정합니다.

정리 9는 C₀, C₁, C₂, …, Cω가 뒤로 갈수록 엄격히 약해진다고 말합니다. 논문은 사소성을 피하는 관점에서는 Cₙ₊₁이 Cₙ보다 더 안전하다고 설명합니다. ‘숫자가 클수록 더 강한 논리’라는 직관과 반대입니다.

다 코스타는 ¬*A를 ¬A∧A°로 정의합니다. 단순히 A를 부정하는 데 그치지 않고 A가 잘 행동한다는 조건을 함께 묶은 강한 부정입니다. 정리 5는 C₁에서 이 강한 부정이 고전 부정의 성질들을 가진다고 말합니다.

Cₙ에서는 ¬⁽ⁿ⁾A=¬A∧A⁽ⁿ⁾로 일반화됩니다. 한 언어 안에서 폭발을 일으키지 않는 약한 부정과, 일관성 조건을 동반한 고전적 성격의 부정을 구별해 쓸 수 있다는 뜻입니다.

논문은 각 Cₙ에 대응하는 일차 술어계산을 만듭니다. ‘모든 x’인 ∀x와 ‘어떤 x’인 ∃x를 더하고, 변수 치환의 표준 제한을 지키는 양화사 공리를 둡니다. 다음에는 등호 =를 넣어 반사성 x=x과 같은 대상의 치환을 다룹니다.

중요한 것은 확장 뒤에도 앞서 차단한 도식이 슬쩍 되살아나지 않는다는 점입니다. 원문은 명제논리에서 타당하지 않은 ¬A→(A→B)와 ¬(A∧¬A)가 대응 술어계산에서도 타당하지 않음을 따로 확인합니다.

원문은 ‘이 문장은 자신의 부정을 함의한다’는 자기지시 문장을 예로 듭니다. 고전적인 방식과 비슷하게 그 문장 a와 ¬a를 얻을 수 있지만, a∧¬a→B가 일반적으로 타당하지 않으므로 임의의 B까지 따라오지는 않습니다.

이것은 역설을 ‘참인 모순’으로 철학적으로 승인했다는 결론과 다릅니다. 논문의 방법론은 가능한 역설이나 모순을 모두 제거하지 않고, 편리한 만큼 도출해 분석하되 모든 식과 그 부정을 정리로 만들지는 말자는 것입니다.

논문은 C₁의 등호 있는 술어논리를 바탕으로 집합론 NF₁을 구성합니다. 분리 도식에는 ‘정상적인’ 식이라는 제한을 두고, 러셀의 집합 R={x∣x∉x}에 대해 R∈R과 R∉R를 모두 도출합니다. 그래서 정리 40은 NF₁이 모순적이라고 밝힙니다.

그러나 원문 표현은 ‘겉보기에는 비사소적’입니다. 정리 42는 NF₁의 비사소성이 콰인의 NF의 일관성을 함축한다고 말하고, 강한 체계의 일관성을 그 내부에서 쉽게 증명할 수 없는 것과 비슷한 한계를 언급합니다. 따라서 ‘비사소성이 완전히 증명되었다’고 고쳐 말하면 안 됩니다.

아닙니다. 모순허용성은 어떤 추론 관계가 모순된 전제집합에서도 모든 결론을 산출하지 않는다는 성질입니다. 어떤 모순이 실제로 참이라는 다이얼레테이즘은 별도의 철학적 주장입니다. 전자를 채택한다고 후자를 자동으로 받아들이는 것은 아닙니다.

다 코스타의 논문도 ‘좋은’ 정리와 그 부정까지 정리인 ‘나쁜’ 정리를 구별하고, 산술 부분은 일관적으로 남아야 한다는 요구를 제시합니다. 연구 목표는 모순을 찬양하는 것이 아니라, 모순이 있는 체계에서 무엇이 보존되고 무엇이 위험한지 더 정밀하게 분석하는 데 있습니다.

논문은 마지막에 집합론의 존재 문제, 분리 도식과 약한 논리의 관계, Cₙ의 대수화, 양상·직관주의 논리와의 연결, 새로운 모형을 이용한 의미론을 후속 과제로 열어 둡니다. 특히 정리 10은 유한 행렬만으로 Cₙ을 결정할 수 없다고 말하지만, 정리 11은 유한한 n에 대해 결정 가능성을 제시합니다. ‘간단한 유한 진리표가 없다’와 ‘결정 절차가 없다’는 같은 말이 아닙니다.

1977년 다 코스타와 E. H. Alves는 Cₙ 계산들의 의미론 분석을 별도 논문으로 전개합니다. 이후 브라질의 연구 프로그램은 일관성을 식 안에서 표현하는 논리들과 다양한 응용으로 확장되었습니다. 다음 4회에서는 사실의 모순이 아니라 해야 할 의무와 하지 말아야 할 의무가 충돌할 때 무엇이 따라오는지를 묻겠습니다.