두 전제에서 결론이
반드시 따라오는 이유

두 전제에 함께 등장하는 말이 결론을 연결합니다.

논증에는 전제와 결론이 있습니다. 전제는 추론의 출발점에서 받아들이는 판단이고, 결론은 그 전제로부터 이끌어 내는 판단입니다. 앞의 예에서 “모든 푸들은 개다”와 “모든 개는 포유류다”가 전제이고, “모든 푸들은 포유류다”가 결론입니다.

여기에는 세 부류의 이름이 등장합니다. 푸들, 개, 포유류입니다. 논리학에서는 이처럼 논증에 사용되는 부류나 대상을 가리키는 표현을 항이라고 부릅니다. 두 전제에는 “개”라는 말이 공통으로 등장합니다. 이렇게 두 전제를 이어 주는 항을 중항이라고 합니다. 중항은 결론에서는 직접 나타나지 않아도, 결론을 도출하는 과정에서 결정적인 역할을 합니다.

세 항에 기호를 붙여 보겠습니다. S는 푸들, M은 개, P는 포유류를 나타냅니다. “모든 S는 M이다”는 푸들에 속하는 대상이라면 모두 개에도 속한다는 말입니다. “모든 M은 P이다”는 개에 속하는 대상이라면 모두 포유류에도 속한다는 말입니다. 그 결과 “모든 S는 P이다”라는 결론을 얻습니다.

자연스러운 예를 하나 더 들어 봅시다. 학교의 모든 3학년 학생은 재학생입니다. 또 모든 재학생은 학교 구성원입니다. 그러므로 모든 3학년 학생은 학교 구성원입니다. 이때 3학년 학생이 S, 재학생이 M, 학교 구성원이 P입니다. “재학생”이 중항입니다.

S가 M에, M이 P에 포함되면 S는 P에 포함됩니다.

어떤 부류에 속하는 대상들이 빠짐없이 다른 부류에도 속한다면, 우리는 집합의 포함 기호 ⊆로 그 관계를 나타낼 수 있습니다. S ⊆ M은 S에 속한 대상이 하나도 빠짐없이 M에도 속한다는 뜻입니다. M ⊆ P는 M에 속한 대상이 모두 P에도 속한다는 뜻입니다.

이제 S에 속하는 어떤 대상 하나를 선택해 봅시다. 그 대상은 첫 번째 전제에 따라 M에 속합니다. M에 속하므로 두 번째 전제에 따라 P에도 속합니다. 처음 고른 대상은 S에 속한다는 것 외에 아무 특별한 조건이 없었습니다. 그래서 S에 속하는 어느 대상을 골라도 같은 결론에 도달합니다.

포함 관계를 순서대로 놓으면 S ⊆ M ⊆ P입니다. 가운데 부류 M은 양쪽을 이어 주고, 마지막에는 S와 P의 관계가 남습니다. 삼단논법에서 중항이 하는 역할이 바로 이것입니다.

그렇다면 “두 전제가 모두 참인데 결론은 거짓인 경우”를 만들 수 있을까요? 결론이 거짓이려면 S에 속하면서 P에는 속하지 않는 대상이 하나라도 있어야 합니다. 그러나 그런 대상은 첫 전제로 M에도 속해야 하고, 둘째 전제로 P에도 속해야 합니다. P에 속한다는 사실과 P에 속하지 않는다는 사실이 동시에 요구됩니다. 따라서 두 전제를 모두 참으로 유지한 채 결론만 거짓으로 만들 수 없습니다. 이것이 추론의 타당성을 확인하는 방법입니다.

모든 대상 x에 대해 같은 연결을 확인합니다.

세 부류를 S, M, P로 그대로 쓰되, 각각의 대상 x에 대해 그 대상이 어느 부류에 속하는지 나타내겠습니다. S(x)는 “x가 S에 속한다”는 뜻입니다. ∀x는 “어떤 x를 골라도”라는 뜻이고, →는 앞의 조건이 성립하면 뒤의 조건이 성립한다는 뜻입니다.

이 식을 한 번에 외울 필요는 없습니다. 전제 1에서 S인 대상은 M이고, 전제 2에서 M인 대상은 P라는 사실을 같은 대상 x에 연달아 적용합니다. 모든 x에서 같은 추론이 성립하므로 “모든 S는 P이다”라고 말할 수 있습니다.

후대의 중세 논리학자들은 이런 종류의 삼단논법을 바르바라(Barbara)라는 이름으로 기억했습니다. 세 판단이 모두 “모든 …는 …이다”의 형식이라는 점을 암기하기 위한 이름입니다. 아리스토텔레스가 자신의 원전에 이 중세식 이름을 직접 붙인 것으로 이해해서는 안 됩니다.

공통 항이 있어도 포함 방향이 다르면 결론이 따라오지 않습니다.

이번에는 다음 두 사실을 생각해 봅시다. “모든 고양이는 동물이다.” “모든 개는 동물이다.” 여기에 “동물”이라는 공통 항이 등장하니, “모든 고양이는 개다”라는 결론을 내릴 수 있을까요?

당연히 그럴 수 없습니다. 고양이와 개가 모두 동물이라는 사실은 두 부류가 같은 큰 부류 안에 들어 있다는 것만 말해 줍니다. 고양이와 개가 서로 포함된다는 뜻은 아닙니다. 바르바라 형식에서는 S ⊆ M ⊆ P였지만, 이번에는 S ⊆ M과 P ⊆ M입니다. 공통 항 M이 두 작은 부류의 바깥에 함께 놓여 있습니다. 포함 관계의 방향이 다릅니다.

반례가 아주 분명합니다. 고양이 한 마리는 동물이지만 개가 아닙니다. 두 전제는 모두 참이지만 “모든 고양이는 개다”는 거짓입니다. 따라서 그 결론이 전제에서 반드시 따라온다는 주장은 반박됩니다.

여기서 놓치기 쉬운 점이 있습니다. 중항이 두 번 등장한다는 사실만으로 삼단논법이 타당해지는 것은 아닙니다. 어디에서 어떤 항을 서술하는지, “모든”과 “어떤 것도 … 아니다” 같은 판단의 범위가 어떻게 놓이는지 확인해야 합니다.

M이 P에서 배제되면 S도 P에서 배제됩니다.

지금까지는 두 전제와 결론이 모두 긍정 형태였습니다. 이번에는 “어떤 사각형도 삼각형이 아니다”와 “모든 정사각형은 사각형이다”라는 두 전제를 이용해 봅시다.

첫 번째 전제는 사각형과 삼각형에 동시에 속하는 도형이 하나도 없다는 말입니다. 두 번째 전제는 모든 정사각형이 사각형에 포함된다는 말입니다. 정사각형은 사각형 안에 들어 있고, 사각형 전체가 삼각형에서 제외됩니다. 그러므로 정사각형 역시 삼각형에서 제외됩니다.

여기서 S는 정사각형, M은 사각형, P는 삼각형입니다. 이 부정 결론의 형식은 중세에 셀라렌트(Celarent)라고 불렸습니다. 바르바라가 중항의 포함 관계를 따라 긍정 결론을 얻는다면, 셀라렌트는 중항이 어떤 부류에서 배제된다는 사실을 이용해 부정 결론을 얻습니다. 둘 다 첫째 도식의 대표적인 타당한 삼단논법입니다.