이 문장은 거짓이라는 말을 믿으면

종이 한 장에 ‘이 문장은 거짓이다’라고 적혀 있다고 해 보자. 참이라고 읽으면 문장이 스스로를 거짓이라고 판정한다. 거짓이라고 읽으면 문장이 말한 내용과 상태가 일치해 다시 참이 된다. 독자는 참과 거짓 사이를 오가며 어느 칸에도 멈추지 못한다. 거짓말쟁이 역설은 문장이 자기 자신의 진릿값을 뒤집도록 설계되었을 때 생기는 충돌이다.

문단 자료[3]

이 문제는 어디에서 왔을까

디오게네스 라에르티오스의 『유명한 철학자들의 생애와 사상』 2권 108절은 밀레토스의 에우불리데스가 다룬 논변 목록에 ‘거짓말쟁이’를 넣는다. 이 기록은 에우불리데스보다 여러 세기 뒤에 쓰였으며, 당시 논변의 정확한 문장까지 전해 주지는 않는다. 그래서 에우불리데스를 거짓말쟁이 논변과 연결할 수는 있어도 오늘 널리 쓰는 문장의 최초 창안자로 확정하기는 어렵다. 고대의 전승과 현대의 표준 문장은 출처의 층을 나누어 읽어야 한다.

문단 자료[1][2]

에우불리데스가 속한 메가라 학파의 논변은 말의 뜻과 추론 규칙이 맞물리는 지점을 시험했다. 고대 철학자들은 ‘참인 말은 무엇인가’, ‘한 문장을 인정하면 어떤 결론을 받아들여야 하는가’를 논쟁했다. 거짓말쟁이는 사소한 말장난처럼 보이지만, 참이라는 개념을 한 언어 안에서 자유롭게 사용해도 되는지 묻는다. 이 문제의 철학적 바탕에는 진리와 논리 규칙이 서로를 어떻게 지탱하는가라는 질문이 있다.

문단 자료[1][3]

한 문장은 어떻게 자기 자신을 가리킬까

문장을 L이라고 부르자. L의 내용은 ‘L은 거짓이다’이다. 여기서 문장과 문장이 가리키는 대상을 구분해야 한다. 보통 ‘눈은 희다’라는 문장은 바깥 세계의 눈을 말한다. L은 자기 이름을 통해 바로 L을 대상으로 삼는다. 형식 언어에서는 이름 붙이기와 대각화라는 방법으로 이런 고정점을 만든다. 자기언급은 문장이 자신의 진릿값을 내용 속에 다시 넣는 통로를 만든다.

문단 자료[3]

첫 번째 갈래에서 L이 참이라고 가정한다. 참인 문장은 자신이 말한 내용을 충족해야 한다. L이 말한 내용은 ‘L은 거짓이다’이므로 L은 거짓이다. 따라서 ‘L은 참이다’라는 가정에서 ‘L은 거짓이다’가 나온다. 참이라는 판정은 한 단계 뒤에서 그 판정을 스스로 뒤집는다.

문단 자료[3]

두 번째 갈래에서 L이 거짓이라고 가정한다. L이 거짓이라는 사실은 L이 말한 내용과 정확히 같다. 문장이 말한 내용이 성립하므로 L은 참이다. 따라서 ‘L은 거짓이다’라는 가정에서 ‘L은 참이다’가 나온다. 두 갈래를 합치면 L은 참일 때 거짓이고 거짓일 때 참이다. 거짓이라는 판정도 한 단계 뒤에서 원래 판정을 뒤집는다.

문단 자료[3]

모순은 어떤 전제에서 만들어질까

이 짧은 순환에는 몇 가지 전제가 들어 있다. 문장마다 참 또는 거짓 중 하나를 준다는 참·거짓 두 값 원리, ‘P’와 ‘P는 참이다’를 오갈 수 있다는 진리 원리, 자기 자신을 가리키는 문장을 만들 수 있다는 표현력, 참과 거짓의 두 경우를 합쳐 결론을 내리는 고전적 추론이 모순을 만든다. 폭발 원리는 이미 얻은 모순에서 임의의 문장을 이끌어 논리 체계 전체로 문제를 퍼뜨린다. 해법들은 모순의 생성 조건과 확산 규칙 가운데 무엇을 조정할지 선택한다. 역설을 푼다는 것은 숨은 전제의 묶음을 찾아 각 전제가 맡은 역할을 밝히는 일이다.

문단 자료[3]

일상어의 ‘거짓말’은 보통 화자가 상대를 속이려는 의도와 발화 상황을 포함한다. 논리학의 핵심 문제는 화자의 심리보다 문장의 진릿값에 있다. 그래서 ‘나는 지금 거짓말하고 있다’보다 이름 붙인 문장 L, 곧 ‘L은 거짓이다’를 쓰면 의도와 습관을 걷어 내고 진리의 순환만 살필 수 있다. 논리적 분석에서는 거짓말하는 사람과 거짓인 문장을 구분한다.

문단 자료[3]

에피메니데스의 크레타인 문장은 같은 구조일까

『디도서』 1장 12–13절은 ‘그들 가운데 한 예언자’가 크레타인들을 늘 거짓말하는 사람들로 묘사한 구절을 인용한다. 후대 전통은 이 인물을 크레타의 에피메니데스와 연결했다. 현전하는 에피메니데스의 완전한 원문은 없고, 인용의 전달 경로와 원래 시의 범위도 따져 보아야 한다. 우리가 가진 자료는 크레타인 전체에 대한 일반화이며, 한 문장이 곧바로 자기 자신을 지목하는 표준 거짓말쟁이와 문법적 구조가 다르다.

문단 자료[4][5][3][6]

크레타인 문장을 C라고 하고 뜻을 ‘모든 크레타인은 언제나 거짓말한다’로 정해 보자. 화자 e도 크레타인이다. C의 평가 범위는 현재 발화 C를 포함해 크레타인 전체와 그들의 여러 발화에 걸쳐 있다. 보편명제 C가 참이려면 범위에 든 모든 사례가 조건을 충족해야 한다. 표준 거짓말쟁이 L은 자기 문장 하나를 평가하고, C는 현재 C를 포함한 크레타인들의 발화를 넓게 평가한다.

문단 자료[4][7]

C가 참이라고 가정하면 화자 e도 언제나 거짓말하는 크레타인이므로 현재의 C도 거짓이어야 한다. 이 강한 해석에서는 참이라는 가정이 거짓을 낳는다. 다만 ‘거짓말쟁이’를 습관적으로 자주 거짓말하는 사람이라는 일상적 뜻으로 읽으면 매 발화가 거짓이라는 결론은 따라오지 않는다. 참에서 거짓으로 가는 추론에는 ‘크레타인의 모든 발화가 거짓’이라는 강한 전제가 필요하다.

문단 자료[7][3]

C가 거짓이라고 가정해 보자. ‘모든 크레타인이 언제나 거짓말한다’가 거짓이면, 적어도 한 명의 크레타인이 어떤 때에는 참말을 했다는 반례가 존재한다. 그 사람이 에피메니데스일 필요는 없고, 그 참말이 C일 필요도 없다. C가 거짓이라는 사실만으로 C가 참이라는 결론은 나오지 않는다. 보편명제의 부정은 반례 하나를 보장할 뿐, 화자의 현재 문장을 참으로 바꾸지 않는다.

문단 자료[7]

칼리마코스의 『제우스 찬가』 8–9행에도 크레타인들을 거짓말쟁이라고 부르는 유명한 구절이 나온다. 그 문맥은 크레타인들이 제우스의 무덤을 만들었다는 주장과, 제우스는 영원히 살아 있다는 시인의 믿음을 맞세운다. 여기서 ‘크레타인은 거짓말쟁이’는 특정 종교적 주장에 대한 공격으로 기능한다. 역사적 문맥을 되살리면 이 구절은 순수한 자기언급 수수께끼보다 제우스의 죽음을 둘러싼 논쟁에 가깝다.

문단 자료[6]

현대 논리학은 어디를 고쳤을까

알프레트 타르스키의 계층적 접근은 대상언어의 문장을 평가하는 ‘참’ 술어를 한 단계 높은 메타언어에 둔다. 한 언어가 자기 문장 전체에 대한 참을 마음대로 말하지 못하게 하여 L이 만들어지는 통로를 제한한다. 이 방법은 형식화된 언어에서 강력하지만, 일상어처럼 자신의 표현을 다시 말할 수 있는 언어를 어떻게 설명할지는 추가 과제로 남는다. 언어의 층을 나누는 해법은 자기 평가의 고리를 구조적으로 끊는다.

문단 자료[8][3]

솔 크립키의 접근에서는 밑바닥 사실에서 진릿값을 얻는 문장들을 차례로 확정하고, L처럼 자기 순환만으로 서 있는 문장은 고정점에서 진릿값이 정해지지 않은 채 남을 수 있다. 다른 이론들은 L을 참이면서 거짓인 문장으로 받아들이되 모순이 모든 문장으로 번지는 폭발을 막는다. 또 어떤 이론은 문맥, 추론 규칙, 진리 술어의 적용 범위를 조정한다. 각 접근이 세운 제한을 겨냥해 ‘이 문장은 참이 아니다’와 같은 역설이 다시 만들어질 수 있다. 현대의 해법들은 진리·논리·표현력 가운데 무엇을 보존할지 서로 다른 선택을 한다.

문단 자료[9][3]

처음의 두 문장으로 돌아가자. L은 자기 자신의 진릿값을 직접 뒤집어 표준 역설을 만든다. 크레타인 문장 C는 현재 C를 포함한 집단 전체의 발화를 평가하는 보편명제다. C가 거짓일 때는 반례 하나만 필요하며, 그 반례가 화자의 현재 발화라는 보장은 없다. 두 문장을 구분하면 역사적 전승도 정확해지고 논증의 핵심도 선명해진다. 좋은 역설 읽기는 문장이 누구를 가리키는지, 범위가 어디까지인지, 어떤 진리 원리와 추론 규칙으로 결론을 잇는지 차례로 확인한다.

문단 자료[3][7][4]