기원전 4세기
아리스토텔레스의 언급
대각선이 한 변과 통약 가능하다고 가정하면 홀수와 짝수에 관한 모순이 생긴다고 설명합니다.
인류가 증명하려 했던 것들 · 04
√2는 왜 분수로 나타낼 수 없을까?
한 변이 1인 정사각형의 대각선은 √2입니다. 그러나 이 길이를 두 정수의 비로 정확히 나타낼 수 없습니다. 정사각형 하나가 수학의 세계를 넓혔습니다.
핵심 질문 · 대각선과 한 변을 같은 단위로 정확히 잴 수 있을까?
피타고라스
Pythagoras of Samos
Pythagoras of Samos
기원전 6세기
고대 그리스
고대 그리스
라파엘로의 『아테네 학당』(1509–1511)에 등장하는 후대 상상도입니다.
01 · 오래된 질문
수와 비례의 세계에
새로운 길이가 등장했습니다.
피타고라스 학파는 음악과 기하학에서 정수비를 연구했습니다. 그러나 정사각형의 한 변과 대각선은 어떤 공통 길이 단위로도 동시에 정확히 잴 수 없습니다. 고대에는 이를 통약 불가능이라고 설명했습니다.
여기서 '같은 단위로 잰다'는 말을 떠올려 봅시다. 한 선분이 작은 막대의 3배이고 다른 선분이 그 막대의 5배라면 두 길이의 비는 3:5입니다. 두 길이를 정수배로 나타낼 공통의 막대가 있다는 뜻입니다. 정사각형의 한 변과 대각선에도 이런 막대가 있을까요? 이것이 현대의 √2를 분수로 나타낼 수 있는가라는 질문으로 이어집니다.
기원전 3세기경
유클리드의 체계화
『원론』 제10권은 통약 가능한 길이와 통약 불가능한 길이를 정교하게 분류합니다.
02 · 귀류법의 흐름
분수라고 가정하면
모순이 생깁니다.
아래 p, q 표기는 고대의 기하학적 논의를 이해하기 쉽게 현대 대수학으로 재구성한 것입니다. p와 q는 양의 정수입니다.
출발 · 정사각형대각선
정사각형의 대각선을 계산합니다.
d²=1²+1²=2
한 변이 1인 정사각형에 피타고라스 정리를 적용하면 대각선 d는 √2입니다.
이제 √2를 분수라고 가정합니다
가정 · 기약분수반대 가정
√2를 기약분수로 나타낸다고 가정합니다.
√2=p/q
분수로 나타낼 수 있다면 최대공약수 gcd(p,q)=1이 되도록 약분할 수 있습니다.
양변을 제곱하면 p²이 짝수입니다
첫 도출분자의 짝수성
p는 짝수입니다.
p²=2q²
p²가 짝수입니다. 만약 p가 홀수라면 p=2k+1로 쓸 수 있고 제곱은 4k(k+1)+1이므로 홀수입니다. 따라서 p는 짝수이며 p=2k인 정수 k가 있습니다.
p=2k를 대입해 분모를 살펴봅니다
연결 단계분모의 짝수성
q도 짝수입니다.
q²=2k²
p=2k를 p²=2q²에 대입하면 4k²=2q², 곧 q²=2k²입니다. 따라서 q²도 짝수이고 q 역시 짝수입니다. 분자와 분모 양쪽에서 같은 결론이 나옵니다.
최초의 기약분수 조건과 비교합니다
최종 결론무리수
기약분수의 조건과 충돌합니다.
수학적 결론
∴ √2 ∉ ℚ
p와 q가 모두 짝수라면 최대공약수는 최소한 2입니다. 처음 정한 gcd(p,q)=1과 모순이므로 √2는 무리수입니다.
03 · 수학과 역사 사이
정확한 분수와
계속 가까워지는 근삿값은 다릅니다.
√2는 1.41421356…처럼 원하는 만큼 정밀하게 계산할 수 있습니다. 소수점 아래 자리를 더 많이 계산할수록 근삿값은 정밀해집니다. 그러나 어떤 정수비도 √2와 정확히 같아지지는 않습니다.
고대 기하학의 표현
정사각형의 한 변과 대각선은 공통의 길이 단위로 동시에 정확히 측정할 수 없습니다. 두 선분은 길이에 관해 통약 불가능합니다.
현대의 수학적 표현
√2는 실수이며, 두 정수의 비로 나타낼 수 없는 무리수입니다. 이 증명은 정수의 짝수성과 귀류법에 의존합니다.
유클리드의 용어
『원론』 제10권의 ‘유리적 길이’ 개념은 현대의 유리수와 쓰임이 다릅니다. 이 글의 기호는 현대의 설명입니다.
히파소스의 전설
히파소스가 처음 무리수를 알아냈는지, 그가 전설처럼 바다에서 죽음을 맞았는지는 확정할 자료가 부족합니다. 증명의 내용과 인물 전승을 구별해야 합니다.
04 · 증명 뒤에 남은 이야기
아주 가까운 분수는 많은데,
왜 정확한 분수는 없을까요?
√2는 약 1.41421356입니다. 7/5는 1.4이고, 99/70은 약 1.4142857입니다. 뒤의 분수는 √2와 무척 가깝습니다. 그러나 방금 한 증명은 계산을 얼마나 정밀하게 하든 √2와 정확히 같은 분수를 만들 수 없다는 사실을 알려 줍니다. 근삿값을 찾는 능력과 정확한 값을 분수로 나타낼 수 있는지는 구별해야 합니다.
49/25
가깝다는 것과 같다는 것
7/5의 제곱은 49/25=1.96입니다. √2의 제곱인 2와 가까워도 같은 값은 아닙니다. 99/70을 제곱하면 9801/4900이 되어 훨씬 가까워집니다. 아무리 좋은 근삿값도 '정확히 같다'는 주장과는 다릅니다.
gcd=1
왜 기약분수로 시작할까요?
6/8은 3/4로 약분할 수 있습니다. 어떤 분수든 분자와 분모의 최대공약수가 1이 될 때까지 줄일 수 있습니다. 그런데 √2=p/q라는 가정에서 p와 q가 모두 짝수라면 2로 한 번 더 줄일 수 있습니다. 이미 다 약분했다는 출발 조건과 충돌하는 것입니다.
길이의 문제
고대 수학자들은 무엇을 연구했을까요?
고대의 물음은 정사각형의 한 변과 대각선을 공통의 길이 단위로 잴 수 있는가에 관한 것이었습니다. 우리는 같은 관계를 √2, p/q, ℚ로 나타냅니다. 고대의 기하학과 현대의 수 이론이 만나는 대목입니다.
전해지는 이야기
히파소스가 처음 알아냈을까요?
피타고라스 학파와 통약 불가능성을 연결하는 전승은 오래되었습니다. 그러나 피타고라스 개인이 이 증명을 남겼다는 사실은 확인되지 않습니다. 히파소스의 발견이나 죽음에 관한 전설도 확정하기 어렵습니다. 증명된 사실과 역사적 전승을 함께 구분해야 합니다.
정사각형이 알려 준 결론
d = √2 ∉ ℚ
한 변이 1인 정사각형의 대각선은 실제로 그릴 수 있는 길이입니다. 동시에 그 길이의 수치는 두 정수의 비로 나타낼 수 없습니다. 기하학에서 나타나는 길이의 세계가 분수의 세계보다 넓습니다.
그러면 수직선에는 분수로 나타낼 수 있는 점 사이에 또 어떤 점들이 놓일까요? 이 질문은 훗날 실수의 체계를 세우는 탐구로 이어집니다. 정사각형 하나에서 시작한 증명이 수학의 세계를 넓히는 이유입니다.
05 · 원전과 연구 자료
자료와 출처
- 아리스토텔레스, 『분석론 전서』 I.23 원전 번역 자료 ↗
- 유클리드, 『원론』 제10권 정의 원전 해설 ↗
- 스탠퍼드 철학백과, 피타고라스주의 역사 자료 ↗
- 초상 · 라파엘로의 피타고라스 위키미디어 공용, 퍼블릭 도메인 ↗
- 유클리드, 『원론』 제10권 명제 9 대학 번역 자료 ↗
편집 안내 · p, q, gcd, ℚ는 현대 기호이며, 피타고라스 개인의 직접 저술에 이 풀이가 등장한다고 주장하지 않습니다.